Функция распределения


Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Содержание

Определение

Пусть дано вероятностное пространство (\R,\mathcal{F},\mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1], задаваемая формулой:

F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right).

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события \{X \leqslant x\}, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых X(\omega) \leqslant x.

Свойства

  • Распределение случайной величины \mathbb{P}^X однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x+) в любой точке x\in \mathbb{R}, и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.
    • В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x-) в любой точке x\in \mathbb{R}, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a < b:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-).

Дискретные распределения

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots,

то функция распределения F_X этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i.

Эта функция непрерывна во всех точках x\in \mathbb{R}, таких что x \not= x_i,\; \forall i, и имеет разрыв первого рода в точках x = x_i,\; \forall i.

Непрерывные распределения

Распределение \mathbb{P}^X называется непрерывным, если такова его функция распределения F_X. В этом случае:

\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R},

и

F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R},

а следовательно формулы имеют вид:

\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a),

где |a,b| означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение \mathbb{P}^X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция f_X(x), такая что:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt.

Функция f_X называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если f_X \in C(\mathbb{R}), то F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), и

\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right).

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.


Многомерные функции распределения

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) фиксированное вероятностное пространство, и X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N — случайный вектор. Тогда распределение \mathbb{P}^X, называемое распределением случайного вектора X \, или совместным распределением случайных величин X_1,\ldots,X_n, является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n. Функция этого распределения F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1] задаётся по определению следующим образом:

F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right),

где \prod в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на \mathbb{R}^n и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

См. также

Примечания

  1. Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Функция распределения" в других словарях:

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — ф ция для описания распределения вероятностей значений случайной величины. Для всех возможных значений х ( <х< )случайной величины x Ф. р. где Р{x<=х} вероятность события x<= х. Ф. p. Fx(x) монотонно не убывает, она непрерывна справа …   Физическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — основное понятие статистической физики; характеризует плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам и импульсам в классической статистике или вероятность распределения по квантомеханическим состояниям в… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — основное понятие статистич. физики, характеризующее плотность вероятности распределения ч ц статистич. системы по фазовому пространству (т. е. по координатам qi и импульсам pi) в классич. статистич. физике или по квантовомеханич. состояниям в… …   Физическая энциклопедия

  • функция распределения — Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна х; то же в виде формулы: F(x) = Pr{X x}. Пример. Функция распределения переменной вес дает для каждого возможного значения веса вероятность того,… …   Словарь социологической статистики

  • функция распределения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN distribution function …   Справочник технического переводчика

  • функция распределения — 3.7 функция распределения (distribution function) F(x):Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна х: П(х) = Рr(Х £ х). Источник: ГОСТ Р ИСО 12491 2011: Материалы и изделия… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • функция распределения — основное понятие статистической физики; характеризует плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам и импульсам в классической статистике или вероятность распределения по квантово механическим состояниям в… …   Энциклопедический словарь

  • функция распределения — pasiskirstymo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. distribution function vok. Verteilungsfunktion, f rus. функция распределения, f pranc. fonction de distribution, f; fonction distributive, f …   Automatikos terminų žodynas

  • функция распределения — pasiskirstymo funkcija statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Atsitiktinių dydžių verčių pasiskirstymą apibūdinanti funkcija. atitikmenys: angl. distribution function vok. Verteilungsfunktion, f rus. функция распределения, f… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • функция распределения — pasiskirstymo funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Atsitiktinių dydžių pasiskirstymą apibūdinanti funkcija. atitikmenys: angl. distribution function rus. функция распределения …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Книги

Другие книги по запросу «Функция распределения» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.