Распределение Парето

Распределение Парето
Распределение Парето
Плотность вероятности
Pareto distributionPDF.png
x_m = 1
Функция распределения
Pareto distributionCDF.png
x_m = 1
Обозначение {{{notation}}}
Параметры x_{m}>0\, - коэффициент масштаба
k>0\,
Носитель x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!
Функция распределения 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!
Математическое ожидание \frac{\,kx_\mathrm{m}}{k-1}\!, если k>1\!
Медиана x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}
Мода x_\mathrm{m}\,
Дисперсия \left(\frac{x_\mathrm{m}}{k-1}\right)^2\frac{k}{k-2}\! при k>2\!
Коэффициент асимметрии \frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\! при k>3\!
Коэффициент эксцесса \frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\! при k>4\!
Информационная энтропия \ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Содержание

Определение

Пусть случайная величина X\! такова, что её распределение задаётся равенством:

F_X(x)=P(X<x) =1- \left(\frac{x_m}{x}\right)^{k},\; \forall x \ge x_m,

где x_m,k>0\!. Тогда говорят, что X\! имеет распределение Парето с параметрами x_m\! и k\!. Плотность распределения Парето имеет вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\
0, & x < x_m
\end{matrix}
\right..

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1},
\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}.

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[1]. Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d'économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

  • В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
    • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
    • Аналогичная кривая для популярности имен.
  • Распределение размера населенных пунктов.[2]
  • Распределение размера файла в интернет-траффике по TCP-протоколу.[2]


См. также

Примечания

  1. Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
  2. 1 2 William J. Reed et al., «The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions», Communications in Statistics : Theory and Methods 33(8), 1733—1753, 2004 p 18 et seq.
Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужны ответы на билеты?

Смотреть что такое "Распределение Парето" в других словарях:

  • Распределение парето — Плотность вероятности xm = 1 Функция распределения xm = 1 Параметры …   Википедия

  • Парето, Вильфредо — Вильфредо Парето Vilfredo Pareto Дата рождения …   Википедия

  • Парето В. — Вильфредо Парето. Парето, Вильфредо (15 июля 1848, Париж 20 августа 1923, Селиньи, Швейцария) итальянский инженер, экономист и социолог. Один из основоположников теории элит. По мысли Парето, общество имеет пирамидальную структуру, на вершине… …   Википедия

  • Парето Вильфредо — Вильфредо Парето. Парето, Вильфредо (15 июля 1848, Париж 20 августа 1923, Селиньи, Швейцария) итальянский инженер, экономист и социолог. Один из основоположников теории элит. По мысли Парето, общество имеет пирамидальную структуру, на вершине… …   Википедия

  • Распределение Эффективное — распределение благ между потребителями таким образом, что любое распределение, осуществляемое с целью лучшего удовлетворения одних потребителей, приводит к ухудшению удовлетворения других. В условиях рыночной экономики данный принцип Р.э. был… …   Словарь бизнес-терминов

  • Распределение вероятностей — Распределение вероятностей  это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений …   Википедия

  • Распределение хи-квадрат — Распределение . Распределение Пирсона Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Пуассона — Функция вероятности …   Википедия

  • Распределение Коши — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение (математика) — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Распределение Парето» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»