Математическое ожидание


Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математических сообществах Москвы и Санкт-Петербурга обозначается через \mathbb{E}[X][2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — M[X][источник не указан 98 дней] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение \mu.

Содержание

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P}) и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, X\colon\Omega \to \mathbb{R} — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству \Omega, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или \mathbb{E}[X].

M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).

Основные формулы для математического ожидания

M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x); x \in \mathbb R.

Математическое ожидание дискретного распределения

\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i.

Математическое ожидание целочисленной величины

  • Если X — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности \{p_i\}

P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k

как значение первой производной в единице: M[X] = P'(1). Если математическое ожидание X бесконечно, то \lim_{s\to 1}P'(s)=\infty и мы будем писать P'(1)=M[X]=\infty

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения \{q_k\}

q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s} при |s|<1. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M[X]=P'(1)=Q(1)

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n — случайный вектор. Тогда по определению

M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top},

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R} — борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i,

если X имеет дискретное распределение;

M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx,

если X имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение \mathbb{P}^X случайной величины X общего вида, то

M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx).

В специальном случае, когда g(X)=X^k, Математическое ожидание M\left[g(X)\right]=M[X^k] называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание числа есть само число.
M[a] = a
a \in \mathbb{R} — константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y],
где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a,b\in \mathbb{R} — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если 0 \leqslant X \leqslant Y почти наверное, и Y — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того
0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y];
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то
M[X]=M[Y].
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий
M[XY] = M[X]M[Y].

Дополнительные свойства математического ожидания

Примеры

M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}.
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty,

то есть математическое ожидание X не определено.

Примечания

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. А. Н. Ширяев 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6

См. также

Литература

  • В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Математическое ожидание" в других словарях:

  • математическое ожидание — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] математическое ожидание Одна из численных характеристик случайной величины, часто называемая ее теоретической средней. Для дискретной случайной величины X математическое… …   Справочник технического переводчика

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — (expected value) Среднее значение распределения экономической переменной, которые она, может принимать. Если рt – цена товара в момент времени t, ее математическое ожидание обозначается – Ept. Для указания момента времени, к которому относится… …   Экономический словарь

  • Математическое ожидание — среднее значение случайной величины. Математическое ожидание является детерминированной величиной. Среднее арифметическое значение из реализаций случайной величины представляет собой оценку математического ожидания. Среднее арифметическое… …   Официальная терминология

  • Математическое ожидание — [expected value]   одна из численных характеристик случайной величины, часто называемая ее  теоретической средней Для дискретной случайной величины X математическое ожидание равно сумме произведений возможных значений этой величины на их… …   Экономико-математический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — (среднее значение) случайной величины числовая характеристика случайной величины. Если случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (см. Вероятностей теория), то её M. о. MX (или EX )определяется как интеграл Лебега: где …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — случайной величины есть ее числовая характеристика. Если случайная величина X имеет функцию распределения F(x), то ее М. о. будет: . Если распределение X дискретно, то М.о.: , где x1, х2, ... возможные значения дискретной случайной величины X; p1 …   Геологическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — англ. expected value; нем. Erwartung mathematische. Стохастическая средняя или центр рассеивания случайной величины. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

  • Математическое ожидание — (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… …   Энциклопедия инвестора

  • Математическое ожидание — 1.14 Математическое ожидание Е (X) где xi значения дискретной случайной величины; р = Р (Х = xi); f(x) плотность непрерывной случайной величины * Если это выражение существует в смысле абсолютной сходимости Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Книги

Другие книги по запросу «Математическое ожидание» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.