Нормальное распределение

Нормальное распределение
Нормальное распределение
Плотность вероятности
Плотность нормального распределения
Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения
Функция распределения нормального распределения
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Обозначение N(\mu,\sigma^2)\,
Параметры \mu - коэффициент сдвига (вещественное число)
\sigma>0 - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель x \in (-\infty;+\infty)\!
Плотность вероятности \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Функция распределения \frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big)\Big]
Математическое ожидание \mu\,
Медиана \mu\,
Мода \mu\,
Дисперсия \sigma^2\,
Коэффициент асимметрии 0\,
Коэффициент эксцесса 0\,
Информационная энтропия \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Производящая функция моментов M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Характеристическая функция \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)


Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:


    f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Содержание

Свойства

Если случайные величины X_1 и X_2 независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями \mu_1 и \mu_2 и дисперсиями \sigma_1^2 и \sigma_2^2 соответственно, то X_1+X_2 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \mu_1+\mu_2 и дисперсией \sigma_1^2+\sigma_2^2.

Моделирование нормальных случайных величин

Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Центральная предельная теорема

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

  • отклонение при стрельбе
  • некоторые погрешности измерений (однако, многие погрешности приборов в технике имеют сильно не нормальные распределения)
  • рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Важно понимать, что использование гауссианы допустимо только при соблюдении следующих эмпирических условий: все факторы процесса известны (нет неизвестных или они несущественны), процесс немасштабируем (существуют верхние и нижние пределы), крайние события происходят не чаще, чем предсказывает правило 3-х сигм, и не имеют больших последствий. Таким образом, с помощью гауссианы некорректно моделировать социальные и экономические процессы. Однако хорошо поддаются моделированию большинство физических процессов.[1]

Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих независимых причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, то есть путём сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

См. также

Ссылки

Примечания

  1. Талеб Н. Н. Чёрный лебедь. Под знаком непредсказуемости. = The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. — КоЛибри, 2012. — 525 с. — ISBN 978-5-389-00573-0
Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула




Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Нормальное распределение" в других словарях:

  • НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (normal distribution) График плотности этого распределения имеет вид колокола, Такая форма – следствие вариаций большого числа независимых и сторонних случайных факторов. Плотность нормально распределенной случайной величины х со средней… …   Экономический словарь

  • нормальное распределение — гауссово распределение — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] нормальное распределение Распределение вероятностей случайной величины X, возникающее… …   Справочник технического переводчика

  • НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (распределение Гаусса) распределение вероятностей случайной величины Х, характеризуемой плотностью вероятности где a математическое ожидание, ?2 дисперсия случайной величины Х. Возникает нормальное распределение, когда данная случайная величина… …   Большой Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (normal distribution) Математическая модель, описывающая распределение случайных (независимых) величин; оно непрерывно, унимодально и симметрично и характеризуется тем, что, по мере удаления от среднего (максимального) значения, частота появления …   Политология. Словарь.

  • Нормальное распределение — [normal distribution] распределение вероятностей случайной величины X, возникающее обычно, когда X представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль. Н.р.… …   Экономико-математический словарь

  • Нормальное распределение — [normal distribution] распределение вероятностей случайной величины X, возникающее обычно, когда X представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль. Н.р.… …   Экономико-математический словарь

  • НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (распределение Гаусса), распределение вероятностей случайной величины X, характеризуемой плотностью вероятности где а матем. ожидание, б2 дисперсия случайной величины X. Возникает Н.р., когда данная случайная величина представляет собой сумму… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — тоже …   Физическая энциклопедия

  • нормальное распределение — 2.11 нормальное распределение: Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X, если х любое действительное число, при котором плотность вероятности составляет ,                                              (1) , где m истинное… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • нормальное распределение — (распределение Гаусса), распределение вероятностей случайной величины X, характеризуемой плотностью вероятности , где a  математическое ожидание, Σ2  дисперсия случайной величины X. Возникает нормальное распределение, когда данная случайная… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Нормальное распределение» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»