Сфера


Сфера
сфера (каркасная проекция)

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3[1]

Содержание

Основные геометрические формулы

Площадь сферы
S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.
Объем шара, ограниченного сферой
V = \frac{4}{3}   \pi r^3.
Площадь сегмента сферы
s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) , где H — высота сегмента, а  \alpha  — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,

где (x_0,y_0,z_0) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x_0,y_0,z_0):

\begin{cases}
x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\
y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\
z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\
\end{cases}

где \theta \in [- \pi/2, \pi/2] и \phi \in [0, 2\pi).

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

Однако, если угол \theta задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

В этом случае \theta_1 и \theta_2 называются широтами, а \phi_1 и \phi_2 долготами.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,

где (a_1,...,a_n) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также

Примечания

  1. [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум]

Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Сфера" в других словарях:

  • СФЕРА — (греч. sphaira шар). 1) твердое тело, в котором все точки поверхности одинаково отдалены от внутренней точки, называемой центром шар; изображение земли в виде глобуса. 2) часть пространства, в котором планета совершает свой путь. 3) в фигуральном …   Словарь иностранных слов русского языка

  • СФЕРА — жен., греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех воображаемых кругов. Армилярная сфера,… …   Толковый словарь Даля

  • сфера — ы, ж. sphère f. <гр. sphaira. 1. геом. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра /. БАС 1. | перен. Сфер десять пролетев воздушных, Узрел вдали питейный дом. И. Наумов Ясон. // Ирои комич. поэма 560. 2.… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • СФЕРА — сферы, жен. [греч. sphaira шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к рых существует, действует, развивается, применяется что н. (книжн.). «Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера …   Толковый словарь Ушакова

  • СФЕРА — СФЕРА, ы, жен. 1. Область, пределы распространения чего н. С. деятельности. С. влияния. 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). 3. Замкнутая поверхность, все точки к рой равно удалены… …   Толковый словарь Ожегова

  • сфера — См. область …   Словарь синонимов

  • Сфера — (Хабаровск,Россия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Переулок Дежнева 15, Хабаровск …   Каталог отелей

  • -сфера — сфера  компонент сложных слов, означающих: 1) одну из оболочек планет и звёзд: астеносфера атмосфера барисфера биосфера геосфера гетеросфера гидросфера гомосфера ионосфера литосфера магнитосфера мезосфера стратосфера субстратосфера… …   Википедия

  • СФЕРА — (от греческого sphaira шар), 1) область действия, пределы распространения чего либо (например, сфера влияния). 2) Общественное окружение, среда, обстановка …   Современная энциклопедия

  • СФЕРА — (от греч. sphaira шар) 1) область действия, пределы распространения чего либо (напр., сфера влияния).2) Общественное окружение, среда, обстановка …   Большой Энциклопедический словарь

  • СФЕРА — замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой либо ее точкой (а также его длина), называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы S=4?R2, где R радиус сферы …   Большой Энциклопедический словарь

Книги

  • Сфера, Эггерс, Дэйв. Роман лидера новой волны американской литературы, жестокая сатира на современный мир социальных сетей и сплошного белого шума. СФЕРА - корпорация добра: она совершенствует мир, делая его… Подробнее  Купить за 489 руб
  • Сфера, Дэйв Эггерс. Мэй Холланд крупно повезло. Она работает в идеальной компании «Сфера» – союз блистательных умов поколения, где все прислушиваются ко всем и все вдохновенно совершенствуют мир. Здесь Мэй… Подробнее  Купить за 170 руб электронная книга
  • Сфера, Дейв Эггерс. Книга Дэйва Эггерса«Сфера»сосредоточена вокруг темы социальных сетей. По сюжету молодая девушка Мэй устраивается в корпорацию«Сфера», где постепенно постигает принципы… Подробнее  Купить за 150 грн (только Украина)
Другие книги по запросу «Сфера» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.