Планарный граф

Планарный граф

Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу.

Содержание

Два примера непланарных графов

Здесь мы пользуемся интуитивным понятием слова «линия», подробнее см. в соответствующей статье.

Полный граф с пятью вершинами

K5, полный граф с 5 вершинами

Лемма. Полный граф с пятью вершинами (К5) нельзя уложить на плоскость.

«Домики и колодцы»

Граф «домики и колодцы» (K3,3)

Задача о трёх колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересекались бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из долей (К3,3) нельзя уложить на плоскость.

Теорема Понтрягина-Куратовского

Очевидно утверждение: если граф G содержит подграф, гомеоморфный K5 или K3,3, его невозможно разложить на плоскости. Оказывается, верно и обратное.

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K5) или графу «домики и колодцы» (K3,3).

Теорему также можно сформулировать в следующем варианте (иногда его называют «теорема Вагнера»).

Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, стягивающихся в K5 или K3,3.

Признаки непланарных графов

  • достаточное условие — если граф содержит двудольный подграф K3,3 или полный подграф K5, то он является не планарным;
  • необходимое условие — если граф не планарный, то он должен содержать больше 4 вершин, степень которых больше 3, или больше 5 вершин степени больше 2.

Формула Эйлера

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин |V(G)|, ребер |E(G)| и граней |F(G)| (включая внешнюю грань):

\ |V(G)|-|E(G)|+|F(G)| = 2.

Оно было найдено Эйлером в 1736 г.[1] при изучении свойств выпуклых многогранников. Это соотношение справедливо и для других поверхностей с точностью до коэффициента, называемого эйлеровой характеристикой. Это инвариант поверхности, для плоскости или сферы он равен двум. Формула имеет множество полезных следствий. Если каждая грань ограничена не менее чем тремя ребрами (при условии, что в графе больше двух ребер), а каждое ребро разделяет две грани, то

3|F(G)| \le 2|E(G)|,

следовательно,

|E(G)| \le 3|V(G)|-6,

то есть, при большем числе ребер такой граф заведомо непланарен. Обратное утверждение не верно, например, граф Петерсена. Отсюда следует, что в планарном графе всегда можно найти вершину степени не более 5.

Планарные графы в задачах

Раскраска карты. Необходимо раскрасить плоскую карту заданным числом красок так, что любые две страны, имеющие общий участок границы, имели различные цвета. Оказывается, что при отсутствии анклавов, всегда достаточно четырех красок, но это утверждение чрезвычайно сложно доказать, см. Проблема четырёх красок.

Спрямление графа. Любой плоский граф можно перерисовать так, чтобы он остался плоским, а рёбра стали прямолинейными.

См. также

Примечания

  1. Ф. Харари Теория графов УРСС стр. 126

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Планарный граф" в других словарях:

  • планарный граф — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN planar graph …   Справочник технического переводчика

  • ГРАФ ПЛОСКИЙ — планарный граф, граф, допускающий правильную укладку на плоскости (см. Графа укладка). Иными словами, граф G наз. плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что вершинам соответствуют различные точки плоскости, а линии,… …   Математическая энциклопедия

  • Граф Петерсена — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей …   Википедия

  • Плоский граф — Планарный граф  граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его …   Википедия

  • Вершина (граф) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

  • плоский граф — планарный граф — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы планарный граф EN flat graph …   Справочник технического переводчика

  • Двудольный граф — Биграф Двудольный граф или биграф  это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что ка …   Википедия

  • Планарность — Планарный граф  граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его …   Википедия

  • Теория графов — Граф с шестью вершинами и семью рёбрами Теория графов  раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строго …   Википедия

  • Гамма-алгоритм — Гамма алгоритм  алгоритм плоской укладки графа и проверки его на планарность. Содержание 1 Определения 2 Алгоритм 3 Реализация …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»