Полиномы

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной - функции вида

$F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,$

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

$\sum c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$,

где I = (i₁,i₂,...,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

$c_0+c_1x^1+\cdots+c_nx^n$

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x₁,x₂,...,x_n].

Связанные определения

• Многочлен вида $c x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$ называется одночленом или мономом
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу $I=(0,\dots,\,0)$ называется свободным членом.
  • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
  • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена $c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$ называется целое число | I | = i₁ + i₂ + ... + i_n.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
• Множество мультииндексов I для которых коэффициенты c_I ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x⁴ + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен $p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ определяет полиномиальную функцию

$p_R:A\to A$.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция $f_p:R^n\to R$ полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_1(x)\equiv x$ и $p_2(x)\equiv x^2$ из $\Z_2[x]$ определяют тождественно равные функции $\Z_2\to\Z_2$.

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен

См. также

• Бином
• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Однородный многочлен
• Ортогональные многочлены
• Многогранник Ньютона
• Многочлен Лагранжа
• Многочлен Тейлора
• Многочлен Гильберта
• Многочлен Эрхарта
• Многочлен Чебышёва
• Многочлен Эрмита
• Симметрический многочлен
• Базис Гребнера
• Сплайн
• Характеристический многочлен
• Теорема Гаусса — Лукаса
• Упорядочивание одночленов

Ссылки