Однородный многочлен

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом.

Примеры

• $x^2+y^2$ - однородный многочлен
• $x^3+2xy^2$ - однородный многочлен
• $x^4+qxyz$ - однородный многочлен
• $x+yz$ - неоднородный многочлен

Вариации и обобщения

• Однородная функция
• Пусть группа $G$ действует на векторах из переменных. Многочлен $P(z)$ называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента $g$ группы $P(gz)\equiv hP(z)$, где множитель $h$ зависит только от $g$. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя $h$ называется степенью однородности многочлена.
  • Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора

  $g\in \mathbb C\setminus\{0\} : g(z_1,\dots,\,z_n)=(gz_1,\dots,\,gz_n),$

поскольку

$P(gz)=\sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (gz)^\alpha=g^k \sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (z)^\alpha=g^kP(z)$

В данном случае степень однородности многочлена $k$ совпадает с его степенью.

См. также

• квадратичная форма