- Неприводимый многочлен
-
Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.
Содержание
Определение
Неприводимый многочлен над полем
― многочлен
от
переменных над полем
является простым элементом кольца
, то есть, непредставим в виде произведения
, где
и
― многочлены с коэффициентами из
, отличные от констант.
Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида
абсолютно неприводим.
Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.
Свойства
- Кольцо многочленов
факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
- Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
- Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен
, где
и
― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
- Если
— конечное поле из
элементов, а
— натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из
.
- Предположим
― целозамкнутое кольцо с полем частных
(например
и
) и
― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда
в
, причем
и
имеют старший коэффициент 1, то
.
- Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности
. Если степень многочлена
совпадает со степенью многочлена
и
неприводим над полем частных области
, то не существует разложения
, где
и отличны от константы.
- Например, многочлен
со старшим коэффициентом
прост в
(и, следовательно, неприводим в
), если прост многочлен
, полученный из
редукцией коэффициентов по модулю простого числа.
- Например, многочлен
Примеры
Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:
,
,
,
,
.
Над кольцом
целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).
Над полем
рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.
Над полем
действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но
является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена
в поле действительных чисел имеет вид
. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.
Над полем
комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен
над
может быть разложен на множители вида:
где
— степень многочлена,
— старший коэффициент,
— корни
. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над
являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).
Конечные поля
Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем
могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен
является неприводимым над
, но над полем
из двух элементов мы имеем:
Литература
- ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
- Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
- Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.
Категория:- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.