ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ

- системыполиномов , п =0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале ( а, b):

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики:в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задачна собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.
Задание веса и интервала ( а, b )определяет полином р _п (х), удовлетворяющийсоотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочногомножителя. Для полиномов р _п (х )справедливо след. явноевыражение в виде определителя:

где А _п - нормировочнаяпостоянная,- момент весовой ф-ции .Из соотношений ортогональности (1) можно получить мн. свойства О. п. Напр.:полином р _п (х )ортогонален произвольному полиному меньшейстепени; для произвольных О. п. справедлива рекуррентная ф-ла, связывающаятри последоват. полинома p_n-1(x), р _n(x), р _п+1 (х),

где - постоянные.

Классические О. п. - полиномы Якоби, <Лaгeppa и Эрмита, часто встречающиеся в теоретич. и матем. физике. Классич. <О. п. удовлетворяют ур-ниям вида

где - полином степени не выше 2,- полином степени не выше 1,- постоянная. Ур-ние (2) можно записать в самосопряжённом виде

где ф-ция удовлетворяет ур-нию

При значениях

n= 0,1,2,...,

ур-ние (2) имеет полиномиальные решения у = у _п (х), к-рые можно представить в виде ф-лы Родрига

где В _п - нормировочнаяпостоянная.

Т. к. производные от решений ур-ния (2)также удовлетворяют ур-нию того же вида, то получаем ф-лу Родрига для производныхот полиномов у _n (х):

При помощи линейной замены независимойпеременной, не меняющей вида ур-ния (2), полиномы у _п, (х), ф-ции и можнопривести к след. канонич. видам.
1) Полиномы Якоби:

Частными случаями полиномов Якоби являются:

а) полиномы Лежандра

б) полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода

в) полиномы Гегенбауэра (ультрасферич. <полиномы)

Здесь

Через полиномы Якоби можно выразить такжесферические гармоники и обобщённые сферич. ф-ции ( Вигнера функции).

2)Полиномы Лагерра:

3) Полиномы Эрмита:

Ф-лы дифференцирования для полиномов Якоби, <Лагерра и Эрмита:

Если полином имеет кратные корни, т. е.= ( х - а)², то соответствующие полиномы у _п (х )можновыразить через полиномы Лагерра:

(С _п - нормировочнаяпостоянная). Полиномы у _n(x), для к-рых ф-ция удовлетворяет условию

( а, b - вещественные числа; k=0, 1, ...), ортогональны с весом наинтервале ( а, b), т. е.

Отсюда следует, что полиномы Якоби ортогональны с весом на интервале ( - 1, 1) при - с весом на интервале (0, )при Н _п (х) - свесом ехр ( - х² )на интервале ( -,).
В случае выполнения условия (5) полиномы у _п (х )наз. классическими О. п. Обычно эти полиномы рассматриваютпри дополнит. условии ( х)> 0. Производные классич. О. п.также являются классич. О. п., к-рые ортогональны с весом на интервале ( а, b):

Системы классич. О. п. замкнуты для непрерывныхф-ций f(x), удовлетворяющих условию квадратичной интегрируемости, <т. е. из равенств

следует, что f(x) =0 при х ( а,b )для любых непрерывных ф-ций f(x), удовлетворяющих условию0 <
Если ф-ция на интервале ( а, b )является ограниченным и положительным решениемур-ния удовлетворяющим условию (5), то нетривиальные решения у = у(х )ур-ния(3), для к-рых ф-ция ограничена и квадратично интегрируема на интервале ( а, b). существуюттолько при

и = 0,1,..., и имеют вид

т. е. совпадают с классич. О. п. Если а и b конечны, то требование квадратичной интегрируемости можно опустить.
В табл. 1 приведены осн. характеристикиполиномов Якоби, Лагерра и Эрмита.

Табл. 1.

Здесь Г ( х) - гамма-функция.

Производящие ф-ции для полиномов Якоби, <Лагерра и Эрмита:

Асимптотич. представления при

Классические О. п. дискретной переменной. <Заменим (2) разностным ур-нием второго порядка точности по h насетке х = x(s) с переменным шагом х= x(s + h) - x(s). После замены s на hs получим

где

Для сеток

( а, b, с, С ₁, С ₂, С ₃ - постоянные), к-рые линейными преобразованиями x(s)c₁x(s)+ c₂, ss+ с можно привести к канонич. видам

(- постоянная), выполняется простое свойство, аналогичное осн. свойствуур-ния (2): в результате разностного дифференцирования (6) получается ур-ниетого же типа.
При определ. значениях ур-ние (6) имеет частные решения где - полином степени п относительно переменной х. Полиномиальныерешения , х= x(s )ур-ния (6) даются разностным аналогом ф-лы Родрига:

где В _п- постоянная,ф-ция - решение ур-ния

при

Нек-рые из этих решении имеют самостоят. <значение и используются в квантовой механике, теории представлений групп, <вычислит. математике, теории вероятностей.
Ф-ла, аналогичная (7), справедлива дляразностных производных от полиномиальных решений ур-ния (6). С помощью(7) можно получить ф-лы разностного дифференцирования, свойства симметриии ряд других свойств полиномов у _п (х).
При выполнении условий

k= 0,l,...

полиномиальные решения и ур-ния(6) при ортогональны в смысле суммы:

х _i = х(s_i).

Решения (7), для к-рых справедливо свойство(8) (причём на отрезке [ а, b -1] ф-ция не меняет знак, ф-ция x(s) - монотонна), наз. классич. О. п. дискретнойпеременной на неравномерных сетках.
Т. к. свойство ортогональности (8) дляклассич. О. п. дискретной переменной получается из свойства ортогональностидля произвольных О. п. в результате замены определённого интеграла на сумму, <то для полиномов при соответствующем определении скалярного произведения сохраняются все общие свойства произвольных О. п. р(х). В частности, <справедливо рекуррентное соотношение. Среди полиномиальных решений ур-ния(6) наиб. известны полиномы Хана ,полиномыМейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье (случай линейной сетки x(s) = s; табл. 2).

Табл. 2.

Через классич. О. п. дискретной переменнойна линейной и квадратичной сетке выражаются матричные элементы представленийгруппы трёхмерных вращений, коэф. Клебша - Гордана и коэф. Рака.
Классич. О. п. как непрерывного, так идискретного аргумента можно выразить через гипергеометрические функции, и их обобщения.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшиетрансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1, 1973; Суетин П. К.,Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; Никифоров А. Ф.,Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984;Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б., Классические ортогональныеполиномы дискретной переменной, М., 1985.

А. Ф. Никифоров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.