Полиномы Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $1, x, x^2, x^3, \ldots$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

$P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n$

часто записываемой в виде

$P_n (\cos\,\theta) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d}{d(\cos\,\theta)^n}(\cos^2\,\theta - 1)^n$

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

$P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1} x P_n(x) - \frac{n}{n+1} P_{n-1}(x)$

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

$P^m_n (x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n (x)$

которую также можно представить в виде

$P^m_n (\cos\,\theta) = \sin^m\theta \frac{d^m}{d(\cos\,\theta)^m} P_n(\cos\,\theta)$

При m = 0 функция $P^m_n$ совпадает с P_n.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

1. P₀(x) = 1
2. P₁(x) = x
3. $P_2(x) = {1\over{2}} (3x^2 - 1)$
4. $P_3(x) = {1\over 2} (5x^3 - 3x)$

Свойства

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] - \frac{m^2}{(1-x^2)} P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0.$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

$\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z)x^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке [ − 1,1]:

$\int\limits_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx = {2\over{2k+1}}\delta_{kl}$

• При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра $P^m_n (x), \,n=m,m+1,\ldots$ полна в L₂( − 1,1).
• В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

$P^m_n(-x) = (-1)^{m+n} P^m_n(x)$

Функции Лежандра

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_n,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

$r^n P^m_n(\cos \theta) \cos m\varphi$   и   $r^n P^m_n(\cos \theta) \sin m\varphi$,

где $P^m_n$ — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в $\R^3$ (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5