- Кольцо (алгебра)
-
Кольцо - это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.
Содержание
Определения
Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:
— коммутативность сложения;
— ассоциативность сложения;
— существование нейтрального элемента относительно сложения;
— существование обратного элемента относительно сложения;
— ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы)
— дистрибутивность.
Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра
, такая что алгебра
— абелева группа, алгебра
— полугруппа и операция + дистрибутивна относительно
.
Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:
- наличие единицы:
(кольцо с единицей);
- коммутативность умножения:
(коммутативное кольцо);
- отсутствие делителей нуля:
.
Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.
Связанные определения
- Подмножество
назывется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент.
- Ассоциативное кольцо с единицей
, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
- Коммутативное тело называется полем.
Простейшие свойства
Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:
Примеры
- {0} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей.
— целые числа (с обычным сложением и умножением).
— кольцо вычетов по модулю натурального числа n.
— кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
— кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
— кольцо многочленов от n переменных над полем
.
- Кольцо алгебраических целых чисел.
— кольцо гауссовых целых чисел.
- Кольцо когомологий.
См. также
- Алгебра над кольцом
- Бимодуль над кольцом
- Идеал
- Модуль над кольцом
- Артиново кольцо
- Дистрибутивное кольцо
- Евклидово кольцо
- Кольцо Безу
- Кольцо главных идеалов
- Локальное кольцо
- Нётерово кольцо
- Первичное кольцо
- Полулокальное кольцо
- Полупервичное кольцо
- Полупростое кольцо
- Полуцепное кольцо
- Простое кольцо
- Ассоциативное кольцо
- Кольца близкие к ассоциативным
- Цепное кольцо
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
- Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
- Кольцо алгебраическое в Большой советской энциклопедии.
Wikimedia Foundation. 2010.