Корень многочлена

Корень многочлена

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

a_0+a_1x+\dots+a_nx^n

над полем k — элемент c\in k, такой что выполняются два следующих равносильных условия:

  • данный многочлен делится на многочлен x-c;
  • подстановка элемента c вместо x обращает уравнение
a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Содержание

Свойства

  • Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
  • Всякий многочлен p(x) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .
    • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
    • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде
p(x) = a_n(x-c_1)(x-c_2)\ldots(x-c_n),
где c_1,c_2,\ldots,c_n — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней c_1,c_2,\ldots,c_n многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
  • Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
  • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году.[1] Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

См. также

Примечания



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Корень многочлена" в других словарях:

  • Корень алгебраического уравнения — Корень многочлена над полем k  элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество. Свойства Если c является корнем многочлена p(x …   Википедия

  • Корень уравнения — Корень многочлена над полем k  элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество. Свойства Если c является корнем многочлена p(x …   Википедия

  • Корень Бринга — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения. В алгебре корень Бринга или ультрарадикал это аналитическая функция , такая что для… …   Википедия

  • Корень (значения) — Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике)  вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп …   Википедия

  • Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

  • Кратный корень —         многочлена          f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an,         число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х с) k, но не… …   Большая советская энциклопедия

  • Корень — I Корень (radix)         один из основных вегетативных органов листостебельных растений (за исключением мхов), служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питательных веществ, первичного превращения ряда поглощаемых веществ,… …   Большая советская энциклопедия

  • КОРЕНЬ — 1) К. степени n из числа a число n я степень х п к рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К элемент к рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена Если сявляется… …   Математическая энциклопедия

  • Сопряжённый корень — Если задан некоторый неприводимый многочлен над кольцом и выбран некоторый его корень в расширении , то сопряженным корнем для данного корня многочлена называется любой корень многочлена …   Википедия

  • Квадратный корень из 2 — равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из числа 2  положительное …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»