Абелева группа

Абелева группа

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа (G, *) абелева если a*b=b*a для любых двух элементов a,\;b\in G.

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +.

Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Содержание

Примеры

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа G=\langle a\rangle. Действительно, для любых x=a^n и y=a^m верно, что
    xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx.
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

  • По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

  • Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
    • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть nнатуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда nx можно определить как x+x+\ldots+x (n раз) и (-n)x = -(nx).
  • Множество гомоморфизмов \operatorname{Hom}(G,\;H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действительно, пусть f,\;g:G\to H — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f+g, заданная как (f+g)(x)=f(x)+g(x), тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. \Z_{mn} изоморфно прямой сумме \Z_m и \Z_n тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}

двумя различными способами:

  • Где числа k_1,\;\ldots,\;k_u степени простых
  • Где k_1 делит k_2, которое делит k_3, и так далее до k_u.

Например, \Z/15\Z=\Z_{15} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

  • Дифференциальной группой называется абелева группа \mathbf{C}, в которой задан такой эндоморфизм d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}, что d^2=0. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра \ker\,dциклами, элементы образа \mathrm{Im}\,dграницами.

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Абелева группа" в других словарях:

  • АБЕЛЕВА ГРУППА — группа, умножение в к рой коммутативно (перестановочно). А. г. наз. также коммутативной. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

  • абелева группа — Абстрактная группа с такой бинарной операцией, которая являеся коммутативной (например "от перемены мест слагаемых сумма не меняется"). [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN abelian… …   Справочник технического переводчика

  • АБЕЛЕВА ГРУППА — разрешимости алгебраич. уравнений в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г. используется аддитивная запись, т. е. знак + для самой операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он… …   Математическая энциклопедия

  • Абелева группа —         Группа с перестановочным действием. Названа по имени Н. Абеля (См. Абель), установившего роль этих групп в теории разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Современная теория А. г. имеет важные приложения в различных разделах… …   Большая советская энциклопедия

  • абелева группа — Математическая группа, удовлетворяющая операции перестановки: а+b=b+a; a·b=b·a, или коммуникативности …   Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

  • ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА — абелева группа, порядки всех неединичных элементов к рой равны одному и тому же простому числу р. О. А. Иванова …   Математическая энциклопедия

  • Конечнопорождённая абелева группа — В абстрактной алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление где   целые числа. В таком случае говорится, что …   Википедия

  • Конечнопорожденная абелева группа — В абстрактной алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление где   целые числа. В таком случае говорится, что …   Википедия

  • Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950 х… …   Википедия

  • Группа Баумслага — В алгебре, группа Баумслага Солитера   группа с двумя образующими и и одним соотношением Эта группа обычно обозначается . Примеры и свойства это свободн …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»