Абелева группа

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа $(G, *)$ абелева если $a*b=b*a$ для любых двух элементов $a,\;b\in G$.

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком $+$.

Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа $G=\langle a\rangle$. Действительно, для любых $x=a^n$ и $y=a^m$ верно, что

  $xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx$.

  • В частности, целые числа $\Z$ образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов $\Z/n\Z$.
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
• Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть $n$ — натуральное число, а $x$ — элемент коммутативной группы $G$ с операцией, обозначаемой +, тогда $nx$ можно определить как $x+x+\ldots+x$ ($n$ раз) и $(-n)x = -(nx)$.
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов $\Z$), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.
• Множество гомоморфизмов $\operatorname{Hom}(G,\;H)$ всех групповых гомоморфизмов из $G$ в $H$ само является абелевой группой. Действительно, пусть $f,\;g:G\to H$ — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма $f+g$, заданная как $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если $H$ некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. $\Z_{mn}$ изоморфно прямой сумме $\Z_m$ и $\Z_n$ тогда и только тогда, когда $m$ и $n$ взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу $G$ в форме прямой суммы

$\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}$

двумя различными способами:

• Где числа $k_1,\;\ldots,\;k_u$ степени простых
• Где $k_1$ делит $k_2$, которое делит $k_3$, и так далее до $k_u$.

Например, $\Z/15\Z=\Z_{15}$ может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: $\Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа $\mathbf{C}$, в которой задан такой эндоморфизм $d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}$, что $d^2=0$. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра $\ker\,d$ — циклами, элементы образа $\mathrm{Im}\,d$ — границами.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7