Бинарная операция

Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

Определение

Пусть A,\;B,\;C — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,\;B со значениями в C называется отображение P \to C, где P \subset A\times B

Если A=B=C, то действие называется внутренним, если A=C или B=C — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции \circ результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x\circ y.

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Бинарная операция \circ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.

Ассоциативная операция

Бинарная операция \circ называется ассоциативной, если

(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.

Для ассоциативной операции \circ результат вычисления x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n при n>2 однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция \circ называется альтернати́вной если

(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y) и y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов x,\;y\in M называют их произведе́нием и обозначают x\cdot y или xy. В этом случае нейтральный элемент e\in M, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,\;y\in M называют су́ммой и обозначают x+y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

Литература

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Бинарная операция" в других словарях:

  • бинарная операция — двуместная операция Операция, выполняемая над двумя аргументами. Например, сложение аргументов "х", "у". Кроме двуместных выполняются и одноместные операции. Двуместную операцию также называют бинарной. [Гипертекстовый… …   Справочник технического переводчика

  • Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция  отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… …   Википедия

  • Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность …   Википедия

  • Унарная операция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… …   Википедия

  • Ассоциативная операция — Ассоциативная операция  это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio  соединение), или сочетательностью: для любых элементов . Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления …   Википедия

  • Логическая операция — В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и …   Википедия

  • БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на множестве классов эквивалентных расширений модулей; предложена Р. Бэром [1]. Пусть Л и В произвольные модули. Расширением Ас ядром Вназ. точная последовательность: Расширение (1) наз. эквивалентным расширению если существует… …   Математическая энциклопедия

  • Антикоммутативность — Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество . Из этого вытекает тождество . Если в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но …   Википедия

  • Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании  некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… …   Википедия

  • Калькулятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Современный инженерный калькулятор Калькулятор …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»