Статистический критерий

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$, и семейство статистических гипотез $H_0,H_1,\ldots$. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

$f: \mathbb{R}^n \to \{H_0,H_1,\ldots\}$.

Таким образом каждой реализации выборки $\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)$ статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

• Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: $H_0: \quad a=a_0$ — нулевая гипотеза. $H_1: \quad a>a_0 \quad (a<a_0)$ или $a\neq a_0$ — конкурирующая гипотеза.

• Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости. Критериями согласия являются:

1. Критерий Пирсона
2. Критерий Колмогорова-Смирнова
3. Z-тест (англ.)
4. Критерий Андерсона-Дарлинга (англ.)
5. Критерий Жака-Бера (англ.)
6. Критерий Шапиро-Уилка (англ.)
7. График нормальности (англ.) — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

• Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (т.е. проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

• Q-критерий Розенбаума
• U-критерий Манна-Уитни
• Критерий Уилкоксона
• Критерий Пирсона
• Критерий Колмогорова-Смирнова

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

• t-критерий Стьюдента
• Критерий Фишера
• Критерий отношения правдоподобия
• Критерий Романовского

Основные понятия

• Статистическая значимость критерия
• Мощность критерия

Простой пример

Пусть дана независимая выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top}$, где $X_i \sim \mathrm{N}(\mu,1),\quad i=1,\ldots,n$. Пусть есть две простые гипотезы:

$\begin{matrix} H_0: & \mu = 0, \\ H_1: & \mu = 1. \end{matrix}$

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

$f(x_1,\ldots,x_n) = \left\{ \begin{matrix} H_0, & \bar{x} \le 0.5 \\ H_1, & \bar{x} > 0.5, \end{matrix} \right.$

где $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$ - выборочное среднее.

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Факторный анализ
• Регрессионный анализ
• Ковариационный анализ
• Receiver operating characteristic

Литература

1. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002. Электронная версия.

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами