- Модулярная группа
-
Модулярная группа — группа
всех преобразований Мёбиуса вида
где
— целые числа, причём
.
Модулярная группа отождествляется с факторгруппой
. Здесь
— группа матриц
где
— целые числа,
.
Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости
(плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими
и соотношениями
, то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой
, и циклической группы порядка 3, порождённой
.
Для произвольного преобразования
из модулярной группы справедливо равенство:
Поскольку мнимая часть
ненулевая, а числа
и
— целые, не равные нулю одновременно, то величина
отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.
Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область
Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из
. Из этого следует, что для того, чтобы две точки
принадлежали
, их мнимая часть должна быть одинакова:
. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:
— любая точка;
В частности, все точки области
имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:
Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки
отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой
.
Чтобы показать, что всякая точка из
конгруэтна некоторой точке из
, рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями
и
, точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит
(иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования
можно было бы строго увеличить мнимую часть).
Легко показать также, что преобразования
и
порождают всю модулярную группу. Пусть
— произвольное модулярное преобразование и
— внутренняя точка
. Как описано выше, найдём преобразование
переводящее
в область
. Точки
и
лежат в
, причём
— внутренняя, следовательно,
. Тогда преобразование
лежит в стабилизаторе точки
, который тривиален. Следовательно,
лежит в группе, порождённой преобразованиями
и
.
Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство
, отождествляемое с фундаментальной областью
модулярной группы. Фундаментальная область
имеет конечную площадь, то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.
Категории:- Аналитическая теория чисел
- Теория групп
- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.