- Ортогональная группа
-
Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований
-мерного векторного пространства
над полем
, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму
на
(то есть таких линейных преобразований
, что
для любого
).
Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно
) преобразованиями
, а также автоморфизмами формы
(точнее, автоморфизмами пространства
относительно формы
).
- Обозначается
,
,
и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (
плюсов,
минусов) где
, обозначается O(
,
), см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае если характеристика основного поля больше двух, то с
связана невырожденная симметрическая билинейная форма
на
, определенная формулой
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства
, которые сохраняют
, и обозначается через
или (когда ясно о каком поле
и форме
идёт речь) просто через
.
- Если
— матрица формы
в неком базисе пространства
, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц
с коэффициентами в
, что
- В частности, если базис таков, что
является суммой квадратов координат (то есть, матрица
единична), то такие матрицы
называются ортогональными.
- Над полем действительных чисел, группа
компактна тогда и только тогда, когда форма
знакоопределена.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(
). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу
, обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S».
, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы
.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Группы Ли
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно
Wikimedia Foundation. 2010.