Ортогональная группа

Ортогональная группа
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства V над полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V (то есть таких линейных преобразований \varphi, что Q(\varphi(v))=Q(v) для любого v\in V).

Обозначения и связанные определения

  • Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно Q) преобразованиями V, а также автоморфизмами формы Q (точнее, автоморфизмами пространства V относительно формы Q).
  • Обозначается O_n, O_n(k), O_n(Q) и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
  • Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (l плюсов, m минусов) где n = l + m, обозначается O(l,m), см. напр. O(1,3).

Свойства

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V, которые сохраняют F, и обозначается через O_n(k,\;F) или (когда ясно о каком поле k и форме F идёт речь) просто через O_n.
  • Если B — матрица формы F в неком базисе пространства V, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц A с коэффициентами в k, что
    A^TBA=B.
    В частности, если базис таков, что Q является суммой квадратов координат (то есть, матрица B единична), то такие матрицы A называются ортогональными.
  • Над полем действительных чисел, группа O_n({\mathbb R},\;V) компактна тогда и только тогда, когда форма Q знакоопределена.

Другие группы

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(n). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу SO(n,Q), обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». SO(n,Q), по построению, является также подгруппой специальной линейной группы SL(n).



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ортогональная группа" в других словарях:

  • ортогональная группа — ortogonalioji grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal group vok. orthogonale Gruppe, f rus. ортогональная группа, f pranc. groupe orthogonal, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА — группа всех линейных преобразований n мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(jn(v))=Q(v) для любого ). О. г. принадлежит к числу …   Математическая энциклопедия

  • Специальная ортогональная группа — размерности это группа вещественных ортогональных матриц размера с определителем 1. Группа вращений n мерного вещественного пространства. Обычно обозначается , Свойства является компонентой связности единицы ортогональной группы …   Википедия

  • Группа (математика) — Теория групп …   Википедия

  • Группа Ли — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • Группа Пуанкаре — Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа …   Википедия

  • Группа Лоренца — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • Ортогональная матрица —         порядка n Матрица                  произведение которой на транспонированную матрицу А даёт единичную матрицу, то есть АА = Е (а следовательно, и A A = Е). Элементы О. м. удовлетворяют соотношениям:                   (i, j = 1, 2, ..., n; …   Большая советская энциклопедия

  • Специальная унитарная группа — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»