- Подгруппа
-
Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно операции, определяющей .
Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
- содержит единичный элемент из
- содержит произведение любых двух элементов из ,
- содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент .
В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.
Примеры
- Подмножество группы , состоящее из одного элемента , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы .
- Сама также является своей подгруппой.
Связанные определения
- Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
- Сама группа и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
- Пересечение всех подгрупп группы , содержащих все элементы некоторого непустого множества , называется подгруппой, порожденной множеством , и обозначается .
- Если состоит из одного элемента , то называется циклической подгруппой элемента .
- Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
- Если группа изоморфна некоторой подгруппе группы , то говорят, что группа может быть вложена в группу .
Свойства
- Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы является подгруппой группы .
- Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп и называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
- Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
- Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.