Группа Гротендика

Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть \,M — коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в \,M назовём сложением. Группа Гротендика моноида \,M (обозначается обычно \,K или \,K_0) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида \,M до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Явное определение

Рассмотрим декартово произведение M \times M, элементами которого являются пары \,(a,b), где \,a,b \in M. По определению, пары \,(a,b) соответствуют разностям \,a-b, сложение которых задается формулой

\,(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида \,M).

Для того, чтобы определить группу Гротендика \,K, нужно ввести на множестве \,M \times M отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы \,(a,b) и \,(a',b'), для которых выполнено равенство

\,a+b'+c = a'+b+c

с некоторым элементом \,c \in M. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента \,(a,b) включает в себя элементы \,(a+c,b+c) при всех \,c \in M. Этот класс называется формальной разностью элементов \,a и \,b и обозначается \,a-b.

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика \,K моноида \,M.

Нейтральный (нулевой) элемент группы \,K — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида \,(a,a) при всевозможных \,a \in M. Элемент, противоположный к элементу \,(a,b), имеет вид \,(b,a) (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение \,M \to K, которое позволяет считать \,K расширением \,M. Именно, каждому элементу \,a \in M ставится в соответствие формальная разность \,a-0, т.е. класс элементов \,(a+c,c) при всевозможных \,c \in M.

Ссылки




Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Группа Гротендика" в других словарях:

  • ГРОТЕНДИКА ГРУППА — аддитивной категории абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С малая аддитивная категория и G абелева группа. Отображение наз. аддитивным, если для любой точной последовательности… …   Математическая энциклопедия

  • Группа Бурбаки — Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki)  коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в нее вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году. Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — алгебраическая группа, бирационально изоморфная алгебраич. подгруппе полной линейной группы. Алгебраич. группа Gлинейна тогда и только тогда, когда алге браич. многообразие Gаффинно, т. е. изоморфно замкнутому (в топологии Зариского)… …   Математическая энциклопедия

  • БРАУЭРА ГРУППА — поля k группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем k, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. Две центральные простые k алгебры А к В конечного ранга эквивалентны, если существуют такие целые… …   Математическая энциклопедия

  • ИНДЕКСА ФОРМУЛЫ — соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора (L0, L1 топологич. векторные пространства), определяемым формулой и измеряющим таким… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ K-ТЕОРИЯ — раздел алгебры, к рый в основном занимается изучением К функторов по существу это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это обобщение результатов о… …   Математическая энциклопедия

  • Векторное расслоение — Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической …   Википедия

  • КОГОМОЛОГИИ — термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие… …   Математическая энциклопедия

  • Гротендик Александр — Александр Гротендик Александр Гротендик (нем. Alexander Grothendieck; 28 марта 1928, Берлин)  немецкий и французский математик, член знаменитой группы «Николя Бурбаки». Содержание 1 Биография …   Википедия

  • Гротендик А. — Александр Гротендик Александр Гротендик (нем. Alexander Grothendieck; 28 марта 1928, Берлин)  немецкий и французский математик, член знаменитой группы «Николя Бурбаки». Содержание 1 Биография …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»