- Группа Гротендика
-
Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.
Пусть
— коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в
назовём сложением. Группа Гротендика моноида
(обозначается обычно
или
) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида
до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.
Явное определение
Рассмотрим декартово произведение
, элементами которого являются пары
, где
. По определению, пары
соответствуют разностям
, сложение которых задается формулой
Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида
).
Для того, чтобы определить группу Гротендика
, нужно ввести на множестве
отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы
и
, для которых выполнено равенство
с некоторым элементом
. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента
включает в себя элементы
при всех
. Этот класс называется формальной разностью элементов
и
и обозначается
.
Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика
моноида
.
Нейтральный (нулевой) элемент группы
— это класс эквивалентности, состоящий из пар вида
при всевозможных
. Элемент, противоположный к элементу
, имеет вид
(и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).
Имеется естественное вложение
, которое позволяет считать
расширением
. Именно, каждому элементу
ставится в соответствие формальная разность
, т.е. класс элементов
при всевозможных
.
Ссылки
- Grothendieck group
- Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D.W.Anderson, Fall 1964), published in 1967, W.A. Benjamin Inc., New York.
- Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3
Категория:- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.