Свободная группа

Свободная группа
Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b

В математике, а именно, в теории групп, группа G называется свобо́дной гру́ппой, если существует подмножество S в G, такое что каждый элемент G записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов S и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие st=su^{-1}ut.) Говорят, что G (свободно) порождена S и пишут: F_S или F_n, если S есть множество из n элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Содержание

Явная конструкция

Для формального понятия, которое обсуждалось выше, можно предъявить явную конструкцию (доказав тем самым существование свободных групп)[1][2]. Будем считать элементы множества S «символами» и для каждого символа s из S введём символ s^{-1}; множество последних обозначим S^{-1}. Пусть

T = S \cup S^{-1}.

Определим слово над S как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из T, записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над S становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово \varepsilon, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над S.

Пример. S = \{a, b, c\}. T =  \{a, a^{-1}, b, b^{-1}, c, c^{-1}\}. Два слова,

\scriptstyle \alpha = abc^{-1}a, ~~ \beta = b^{-1}ba^{-1}.

Их конкатенация:

\scriptstyle \gamma = \alpha\beta = abc^{-1}ab^{-1}ba^{-1}.

Напомним, что, к примеру, \scriptstyle \alpha\varepsilon = \alpha = abc^{-1}a.

Введём теперь правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из S следует (предшествует) соответствующий ему символ из S^{-1}, то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова \gamma (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: abc^{-1}.

Свободной группой F_S, порождённой множеством S, (короче, свободной группой над S) называется группа редуцированных слов над S с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

  • Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
  • Свободная группа F_n изоморфна свободному произведению n копий \Z.
  • Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
  • Любая группа G есть факторгруппа некоторой свободной группы F_S по некоторой её подгруппе H. За S могут быть взяты образующие G. Тогда существует естественный эпиморфизм f:\;F_S \to G. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания G = \langle S, H \rangle.
  • Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы F(a,b) — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами [a^n, b^m], m,n\ne 0.

Универсальность

Свободная группа F_S — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством S. А именно, для любой группы G и любого отображения множеств f\colon S \to G существует единственный гомоморфизм групп \varphi\colon F_S \to G, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Free Group Universal.svg

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений S \to G и гомоморфизмов F_S \to G. Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Указанное выше свойство можно принять за определение свободной группы[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество S называется базисом группы F_s. Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий, свободная группа — это функтор из категории левым сопряжённым для забывающего функтора \bold{Grp} \to \bold{Set}.

Примечания

  1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980. — С. 13.
  2. Гл. 5, § 14 // Основы теории групп / Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982. — 288 с.
  3. С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: Физматлит, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература

  • Гл. II, 1.2 // Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Свободная группа" в других словарях:

  • СВОБОДНАЯ ГРУППА — группа F с системой Xпорождающих элементов такая, что любое отображение множества Xв любую группу G продолжается до гомоморфизма Fв G. Такая система Xназ. с и с т е м о й с в о б о д н ы х п о р о ж д а ю щ и х; ее мощность наз. р а н г о м с в о …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО СВОБОДНАЯ ГРУППА — группа, каждая конечно порожденная подгруппа к рой свободна (см. Свободная группа). Таким образом, счетная Л. с. г. является объединением возрастающей цепи свободных подгрупп. Говорят, что Л. с. г. имеет конечный ранг п, если всякое ее конечное… …   Математическая энциклопедия

  • Группа (математика) — Теория групп …   Википедия

  • СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА — к л а с с а универсальных алгебр алгебра Fиз класса , обладающая с в о б о д н о й п о р о ж д а ю щ е й с и с т е м о й (или б а з о й) X, т. е. таким множеством порождающих X, что всякое отображение множества Xв любую алгебру Аиз продолжается… …   Математическая энциклопедия

  • Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… …   Википедия

  • ГРУППА — один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций умножение чисел, сложение векторов,… …   Математическая энциклопедия

  • Свободная Зона (саентология) — Свободная зона (сокр. СЗ, англ. Free Zone, также независимые саентологи[1]) реформаторское течение саентологии,[2] [3] обособленное от Церкви саентологии (ЦС) и состоящее из независимых друг от друга движений, групп и отдельных людей,… …   Википедия

  • Свободная Зона — (сокр. СЗ, англ. Free Zone, также независимые саентологи[1]) реформаторское течение саентологии,[2] [3] обособленное от Церкви саентологии (ЦС) и состоящее из независимых друг от друга движений, групп и отдельных людей, исповедующих и… …   Википедия

  • ГРУППА ВЕЗ КРУЧЕНИЯ — группа, не имеющая элементов конечного порядка. Свободная, свободная разрешимая, свободная нильпотентная и свободная абе лева группы суть Г. б. к. Прямое, полное прямое и свободное произведения Г. б. к. суть Г. б. к. Факторгруппа Г. б. к. Gпо ее… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНАЯ АВЕЛЕВА ГРУППА — группа, свободная в многообразии всех абелевых групп (см. Свободная алгебра). Прямые суммы (в конечном или бесконечном числе) бесконечных циклич. групп и только они являются свободными группами в классе абелевых групп. При этом совокупность… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Свободная группа» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»