- Свободная группа
-
Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b
В математике, а именно, в теории групп, группа
называется свобо́дной гру́ппой, если существует подмножество
в
, такое что каждый элемент
записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов
и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие
.) Говорят, что
(свободно) порождена
и пишут:
или
если
есть множество из
элементов.
Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).
Содержание
Явная конструкция
Для формального понятия, которое обсуждалось выше, можно предъявить явную конструкцию (доказав тем самым существование свободных групп)[1][2]. Будем считать элементы множества
«символами» и для каждого символа
из
введём символ
множество последних обозначим
. Пусть
Определим слово над
как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из
записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над
становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово
, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над
Пример.
.
. Два слова,
Их конкатенация:
Напомним, что, к примеру,
Введём теперь правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из
следует (предшествует) соответствующий ему символ из
то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова
(см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово:
Свободной группой
порождённой множеством
(короче, свободной группой над
) называется группа редуцированных слов над
с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).
Свойства
- Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
- Свободная группа
изоморфна свободному произведению
копий
.
- Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
- Любая группа
есть факторгруппа некоторой свободной группы
по некоторой её подгруппе H. За
могут быть взяты образующие
. Тогда существует естественный эпиморфизм
. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания
.
- Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы
— это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами
Универсальность
Свободная группа
— это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством
А именно, для любой группы
и любого отображения множеств
существует единственный гомоморфизм групп
для которого следующая диаграмма коммутативна:
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений
и гомоморфизмов
Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.
Указанное выше свойство можно принять за определение свободной группы[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество
называется базисом группы
Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.
С точки зрения теории категорий, свободная группа — это функтор из категории левым сопряжённым для забывающего функтора
Примечания
- ↑ Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980. — С. 13.
- ↑ Гл. 5, § 14 // Основы теории групп / Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982. — 288 с.
- ↑ С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: Физматлит, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
Литература
- Гл. II, 1.2 // Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.