Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Пусть $G$ — безконечная группа, а $p$ — деяке число, которое неделит порядок $G$. Подгруппы порядка $p^t$ называются $p$-подгруппами. Выделим из порядка группы $G$ примарный делитель по $p$, то есть $|G| = p^ns$, где $s$ не делится на $p$. Тогда силовской $p$-подгруппой называется подгруппа $G$, имеющая порядок $p^n$.

Теоремы

Пусть $G$ — конечная группа. Тогда:

1. Силовская $p$-подгруппа существует.
2. Всякая $p$-подгруппа содержится в некоторой силовской $p$-подгруппе. Все силовские $p$-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде $gPg^{-1}$, где $g$ — элемент группы, а $P$ — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских $p$-подгрупп $N_p$ сравнимо с единицей по модулю $p$ ($N_p \equiv 1 {\rm mod\,} p$) и делит порядок $G$.

Следствие

Если все делители $|G|$, кроме 1, после деления на $p$ дают остаток, отличный от единицы, то в $G$ есть единственная силовская $p$-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. $N_5$ должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в $G$ одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому $G$ не может быть простой.

Доказательства

Пусть pⁿ — примарный по p делитель порядка G.

1. Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) — центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа ${<}a{>}_{p^k}$ (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: $|G| = |Z| + \sum |K_a|$ (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс K_a, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему централизатор $Z_G(a)$ имеет порядок pⁿr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$, а значит, $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$, то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем $N_p \equiv 1 \pmod p$.

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.