Теорема Кэли (теория групп)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кэли.

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа $(G,\circ)$ изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент $a \in G$ сопоставляется с перестановкой $\pi_a$, задаваемой тождеством $\pi_a(g)=a \circ g,$ где g — произвольный элемент группы G.

Пример

Рассмотрим группу $\ G = \mathbb{Z}_4$ , с заданной операцией + . Найдём её отображение в $\ S_4$, т.е. найдём подгруппу $\ S_4$ изоморфную $\ G$.

Определим отображение $\ \varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4$

$\varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

$\varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

$\varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\varphi(3)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Построение это не случайное. Для примера рассмотрим $\varphi(1)$. Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы $\ G= \mathbb{Z}_4$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру, $\varphi(0)$ задаёт тождественное отображение $\mathrm{id}_G(g) = g$. В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию $g+0$, т.е. получим $g+0=g$, т.е. нижняя строчка перестановки идентична верхней.

Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка $\varphi(0)$ задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 0. Перестановка $\varphi(1)$ задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 1. $\varphi(2)$ задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 2. $\varphi(3)$ задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы $\ \mathbb{Z}_4$.

Обратите внимание, отображение $\ \varphi$ является гомоморфизмом. К примеру, $\ \varphi(1)^2=\varphi(2)=\varphi(1+1)$. Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

Доказательство теоремы

Пусть $\ G$ конечная группа порядка $\ n$. Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок $\ S_n$. Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию $\ \phi : G \rightarrow S_G$, где $\ S_G$ является собранием перестановок G. Группу $\ \phi(g) : G \rightarrow G$ определяем с помощью умножения слева $\ (\phi(g))(x) = gx$ (в примере приведённом выше это была операция сложения в $\mathbb{Z}_4$).

Докажем, что мы получили перестановку. Если $\ gx=gy$, то $\ x=y$, т.к. G группа, в частности все её элементы обратимы (существует $g^{-1}$). Кроме того, действие $\ \phi(gh)$ на элемент группы x равняется $\ (\phi(gh))(x) = (gh)x$ и это равняется $\ \phi(g)(\phi(h)(x)) = \phi(g)(hx) = g(hx)$ в виду ассоциативности G. Наконец, если $\ \phi(g)=\phi(h)$ то тогда $\ g = \phi(g)(1) = \phi(h)(1) = h$ и поэтому $\ \phi$ является инъективной (1-1).