Обратный элемент

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.

Определения

• Пусть $(M,\cdot)$ — множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$. Пусть $x \in M$ — произвольный элемент множества $M$. Если справедливо равенство
      $x \cdot y = e,$
  где $y \in M$, а $e \in M$ - нейтральный элемент относительно операции $\cdot$, то $y$ называется обра́тным спра́ва к $x$.
• Аналогичным образом, если выполнено
      $y \cdot x = e,$
  то $y$ называется обра́тным сле́ва к $x$.
• Элемент $y\in M$, являющийся обратным к $x$ и справа, и слева, то есть такой, что
      $x \cdot y = y \cdot x = e,$
  называется просто обратным к $x$ и обозначается $x^{-1}$.
• Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация $(M,+)$, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается $-x$.
• Вообще говоря, один и тот же элемент $x\in M$ может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Свойства

• Пусть операция $\cdot$ ассоциативна. Тогда если для элемента $x\in M$ определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Примеры

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	$-x$ (противоположное число)
Вещественные числа не равные нулю	$\cdot$ (умножение)	$1/x$ (обратное число)
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	$f^{-1}$ (обратная функция)

См. также

• Группа