- Полупрямое произведение
-
Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам
и
, и действию
группы
на группе
автоморфизмами.
Полупрямое произведение групп
и
над
обычно обозначается
.
Содержание
Конструкция
Пусть задано действие группы
на пространстве группы
с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм
группы
в группу автоморфизмов группы
. Автоморфизм группы
, соответствующий элементу
из
при гомоморфизме
обозначим
. В качестве группы
— полупрямого произведения групп
и
над гомоморфизмом
— берётся множество
c бинарной операцией
, действующей по правилу:
для любых
,
.
Свойства
- Группы
и
естественно вложены в
, причём
— нормальная подгруппа в
.
- Каждый элемент
однозначно разложим в произведение
, где
и
— элементы групп
и
соответственно. (Это свойство оправдывает название группы
как полупрямого произведения групп
и
.)
- Заданное действие
группы
на группе
совпадает с действием
на
сопряжениями (в группе
).
Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе
(свойство универсальности полупрямого произведения групп).
Обоснование- Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения
-
и
.
- Единицей группы G служит элемент
, где
и
- единицы в группах N и H соответственно.
(Используется равенство.)
- Элемент, обратный к
, равен
.
- Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство
.
- Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство
- Отображения
и
гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
- Отображение
есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
- Равенство
даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
- Равенство
показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом
совпадает с действием H на N сопряжениями.
- Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой
.
Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.
Пример
Группа вычетов по модулю 4 (
) действует на
(рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:
, где
— фиксированный ненулевой элемент
,
,
.
Соответственно, на множестве
можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:
Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).
Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.