Нормальная случайная величина

Нормальная случайная величина
Нормальное распределение
Плотность вероятности
Плотность нормального распределения
Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения
Функция распределения нормального распределения
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры μ - коэффициент сдвига (вещественное число)
σ > 0 - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель x \in (-\infty;+\infty)\!
Плотность вероятности \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Функция распределения \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\;\int\limits_{-\infin}^{x} \exp\left(-\frac{\left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dt\!
Математическое ожидание \mu\,
Медиана \mu\,
Мода \mu\,
Дисперсия \sigma^2\,
Коэффициент асимметрии 0\,
Коэффициент эксцесса 0\,
Информационная энтропия \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Производящая функция моментов M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Характеристическая функция \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)


Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Содержание

Моделирование нормальных случайных величин

Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии проверки на «нормальность»:

  • Критерий Пирсона
  • Критерий Колмогорова-Смирнова
  • Критерий Андерсона-Дарлинга(англ.)
  • Критерий Жака-Бера(англ.)
  • Критерий Шапиро-Вилка(англ.)
  • «График нормальности»(англ.) — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

Заключение

Нормальное распределение наиболее часто встречается в природе, нормально распределёнными являются следующие случайные величины:

  • отклонение при стрельбе
  • ошибки при измерениях
  • рост человека

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный). Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием предельной теоремы Ляпунова.

См. также

Image:Bvn-small.png Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править




Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Нормальная случайная величина" в других словарях:

  • ВЕЛИЧИНА СЛУЧАЙНАЯ НОРМАЛЬНАЯ — Случайная величина, подчиняющаяся нормальному распределению Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • Асимптотически нормальная оценка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному при увеличении размера выборки. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Свойства …   Википедия

  • ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА — одна из важнейших предельных теорем вероятностей теории, описывающая асимптотику при больших N распределения вероятностей суммы N случайных величин. Наиб. просто Ц. п. т. формулируется для суммы N первых членов бесконечной последовательности… …   Физическая энциклопедия

  • T-распределение; распределениеСтьюдента — Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность вероятности которого задается формулой где <t< c параметром =1,2,...; Г – гамма функция. Примечание. Распределение Стьюдента с  степенями свободы – это дробь, в числителе… …   Словарь социологической статистики

  • t — 2. t время выдержки при испытательном давлении, составляет 10 мин. Источник: РД 23.040.00 КТН 387 07: Методика диагностики технологических нефтепроводов НПС Номер п/п Обозначение ОИ Состав группы деталей, обрабатываемых в приспособ …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • t -распределение — 1.40. t распределение; распределение Стьюдента Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой где ¥ < t < +¥ с параметром n = 1, 2, ...; Г гамма функция. Примечание Отношение двух… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отыскание функций от каких либо случайных величин, распределения вероятностей к рых обладают заданными свойствами. Пример 1. Пусть X случайная величина, имеющая непрерывную и строго возрастающую функцию распределения F(х). Тогда случайная… …   Математическая энциклопедия

  • ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — раздел многомерного статистич. анализа, объединяющий математико статистич. методы снижения размерности исследуемого многомерного признака x= (x1, х 2, . . ., x р) , т. е. построения, на основе исследования структуры связей между компонентами xixj …   Математическая энциклопедия

  • Выборочное среднее — Выборочное (эмпирическое) среднее  это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него. Определение Пусть   выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве .… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»