Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу $H_0$ о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения $F(x)$. Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение $F^*(x)$ исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения $F^*(x)$ и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе $H_0$) распределения $F(x)$ производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

$\chi^2 = N\sum \frac{\left( P_i^{\mathrm{emp}} - P_i^{\mathrm{H_{0}}} \right)^2}{P_i^{\mathrm{H_{0}}}},$

где $P_i^{\mathrm{H_{0}}} = F(x_i) - F(x_{i-1})$ — предполагаемая вероятность попадания в $i$-й интервал, $P_i^{\mathrm{emp}} = \frac{n_i}{N}$ — соответствующее эмпирическое значение, ${n_i}$ — число элементов выборки из $i$-го интервала, $N$ — полный объём выборки. Также используется расчет критерия по частоте, тогда:

$\chi^2 = \sum \frac{\left( V_i^{\mathrm{}} - NP_i^{\mathrm{H_{0}}} \right)^2}{NP_i^{\mathrm{H_{0}}}},$

где $V_i$ — частота попадания значений в интервал. Эта величина, в свою очередь, является случайной (в силу случайности $X$) и должна подчиняться распределению $\chi^2$.

Правило критерия

Перед тем как сформулировать правило принятия или отвержения гипотезы, необходимо учесть, что критерий Пирсона обладает правосторонней критической областью.

Правило. Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения $\chi^2\!$ заданного уровня значимости $\alpha\!$ с $(k-1)\!$ или с $(k-p-1)\!$ степенями свободы, где $k$ — число наблюдений или число интервалов (для случая интервального вариационного ряда), а $p$ — число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза $H_0\!$ отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости $\alpha\!$.

Литература

• Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.

См. также

• Распределение хи-квадрат
• Квантили распределения хи-квадрат
• Проверка статистических гипотез
• Статистический критерий

Ссылки

• Критерий Пирсона на сайте Новосибирского государственного университета
• Критерии типа хи-квадрат на сайте Новосибирского государственного технического университета (Рекомендации по стандартизации Р 50.1.033-2001)
• О выборе числа интервалов на сайте Новосибирского государственного технического университета
• О критерии Никулина на сайте Новосибирского государственного технического университета

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации.

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами