Коши распределение

Коши распределение
Распределение Коши
Плотность вероятности
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Параметры x_0\! - коэффициент сдвига
\gamma > 0\! - коэффициент масштаба
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
Функция распределения \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
Математическое ожидание (не определено)
Медиана x0
Мода x0
Дисперсия (не определена)
Коэффициент асимметрии (не определён)
Коэффициент эксцесса (не определён)
Информационная энтропия \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
Производящая функция моментов (не определена)
Характеристическая функция \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью fX(x), имеющей вид:

f_X(x) =  \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right],

где

  • x_0 \in \mathbb{R} — параметр сдвига;
  • γ > 0 — параметр масштаба.

Тогда говорят, что X имеет распределение Коши и пишут X˜C(x0,γ). Если x0 = 0 и γ = 1, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

F_X(x) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

F^{-1}_X(x) =  x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

Так как интеграл Лебега

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx

не определён для \alpha \geqslant 1, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: \lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x  \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right]\, dx = x_0 ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)

Связь с другими распределениями

  • Если U \sim U[0,1], то
 x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma).
\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1).
\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1).
Image:Bvn-small.png Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Коши распределение" в других словарях:

  • КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей с плотностью и ф цией распределения параметр сдвига, >0 параметр масштаба. Рассмотрено в 1853 О. Коши. Характеристическая функция К. р. равна ехр …   Физическая энциклопедия

  • Коши распределение —         специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью          p (x) = λ > 0;         характеристическая функция                  К. р. унимодально и симметрично относительно точки х = μ …   Большая советская энциклопедия

  • КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное распределение вероятностей с плотностью и функцией распределения где параметры. К. р. одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и… …   Математическая энциклопедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — осн. понятие вероятностей теории и матем. статистики. Р. полностью характеризует случайную величину. Пусть x дискретная случайная величина, принимающая (конечное или бесконечное) счётное множество значений {xn}. Если вероятность реализации… …   Физическая энциклопедия

  • Коши, Огюстен — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши О. — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши О. Л. — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши Огюстен Луи — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши барон — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Распределение Коши — Плотность вероятности …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»