Обратная функция

Не следует путать с Обратная величина.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция $g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$, если выполнены следующие тождества:

• $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y = f(x)$ относительно $x$. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции $F(y)$ выразить $y$ из уравнения $x - F(y) = 0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, $\sqrt{x}$ является обратной функцией к $x^2$ на $[0, +\infty)$, хотя на промежутке $(-\infty, 0]$ обратная функция другая: $-\sqrt{x}$.

Примеры

• Если $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$, где $a>0,$ то $F^{-1}(x) = \log_a x.$
• Если $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$, где $a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные и $a \neq 0$, то $F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$
• Если $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$, то $F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$

Свойства

• Областью определения $F^{-1}$ является множество $Y$, а областью значений множество $X$.
• По построению имеем:

$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$,

$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$,

или короче

$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$,

$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$,

где $\circ$ означает композицию функций, а $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

• Функция $F$ является обратной к $F^{-1}$:

$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$.

• Пусть $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y = F(x)$ и $y = F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},$

где коэффициенты $A_k$ задаются рекурсивной формулой:

$A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции