Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая \gamma=\gamma(t) на гладкой регулярной поверхности F в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности F, т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,

где \mathrm{I\!I}вторая фундаментальная форма поверхности F.

Содержание

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна K<0, называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна K>0, называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна K=0, но средняя кривизна K \neq 0, называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит конус или цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

  • Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой \gamma (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.
  • Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности F (теорема Бельтрами — Эннепера).
  • Прямолинейный отрезок на поверхности F всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
  • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над 2\pi (формула Хаццидакиса).
  • На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
  • При проективном преобразовании \pi пространства асимптотические кривые поверхности F переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности \pi(F).

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами x,y,z и метрикой ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2 поверхность задана в виде графика функции z=f(x,y). Тогда в координатах x,y асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением 
f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.
Введя обозначение p=dy/dx, его можно переписать в виде f_{yy}  p^2 + 2f_{xy}  p + f_{xx} = 0. Дискриминант \Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy} стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной p) совпадает с гессианом функции f(x,y), взятым с обратным знаком, и уравнение \Delta=0 задает на плоскости (x,y) кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов f_{xx} или f_{yy} отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых H=K=0, т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

  • Все точки однополостного гиперболоида x^2+y^2-z^2=1 относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид (x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0, где p=dy/dx. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой y=ax+b, где параметры a и b подчинены соотношению b^2-a^2=1. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам \pm в формуле b = \pm \sqrt{a^2+1}) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.
  • Асимтотические линии конуса x^2+y^2-z^2=0 также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.
  • В случае поверхности, заданной уравнением z=y^2 + x^2y + ax^4, имеем \Delta = (1-6a)x^2 - y. Линия параболических точек (y=(1-6a)x^2) делит поверхность на эллиптическую (y>(1-6a)x^2) и гиперболическую (y<(1-6a)x^2) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат (x=y=0), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра a, см. статью.
  • Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:
    
\left\{
\begin{matrix}
x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\
y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\
z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\
\end{matrix}
\right.
\qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),

являются два параллели z=\pm r, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек.

  • Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
  • Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Асимптотическая кривая" в других словарях:

  • асимптотическая кривая — asimptotė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. asymptote; asymptotic curve vok. Asymptote, f; asymptotische Kurve, f rus. асимптота, f; асимптотическая кривая, f pranc. asymptote, f; courbe asymptote, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Асимптотическая — поверхность поверхность, обертывающаяасимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всякая поверхностьимеет, вообще говоря, бесконечно. большое число бесконечно удаленныхточек, а именно все точки пересечения ее с бесконечно… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • Кривая видового накопления — графическое представление числа видов, найденных на определенной территории (или в определенном биотопе и т. п.), как функции от кумулятивной совокупности исследовательских усилий, направленных на их нахождения. Исследовательское усилие может… …   Википедия

  • Асимптотическая — точка. Так называется точка, около которойобращается кривая и, неопределенно приближаясь к ней, никогда ее недостигает. Примером А ой точки могут служить так назыв. локсодромия испираль арифметическая …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением: где II вторая квадратичная форма поверхности. Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает …   Математическая энциклопедия

  • АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТОЧКА — особая точки кривой, вокруг к рой кривая закручивается бесконечное число раз, неограниченно к ней приближаясь. Напр., А. т. логарифмической спирали …   Математическая энциклопедия

  • Асимптота — У этого термина существуют и другие значения, см. Асимптота (значения). Асимптота[1] (от греч. ασϋμπτωτος  несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой… …   Википедия

  • Индикатриса Дюпена — или индикатриса кривизны плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке. Содержание 1 Определение и свойства 2 История 3 …   Википедия

  • Asymptote — asimptotė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. asymptote; asymptotic curve vok. Asymptote, f; asymptotische Kurve, f rus. асимптота, f; асимптотическая кривая, f pranc. asymptote, f; courbe asymptote, f …   Fizikos terminų žodynas

  • asimptotė — statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. asymptote; asymptotic curve vok. Asymptote, f; asymptotische Kurve, f rus. асимптота, f; асимптотическая кривая, f pranc. asymptote, f; courbe asymptote, f …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»