Признак сходимости Д’Аламбера

Признак Д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном Д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда $\sum_{n=0}^\infty a_n$ существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство $\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,$ то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера $\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| &amp;gt;= 1,$ то ряд расходится.

В частности, если существует предел

$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится (признак сходимости Д’Аламбера в предельной форме).

Примеры

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}$

абсолютно сходится для всех комплексных z, так как

$\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,$

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n$

расходится при всех $z\not=0$, так как

$\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.$

• Если ρ = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

$\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$     и     $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

Юмор

• Смех без причины — признак Д’Аламбера.

См. также

• Признак Абеля
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши
• Признак_Раабе