Асимптотическая

Асимптотическая поверхность - поверхность, обертывающаяасимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всякая поверхностьимеет, вообще говоря, бесконечно. большое число бесконечно удаленныхточек, а именно все точки пересечения ее с бесконечно удаленноюплоскостью, совокупность которых составляет бесконечно-удаленную кривую,лежащую на данной поверхности. Всякой точке этой кривой соответствуетодна А., так что поверхность имеет бесконечное число А., вещественныхили мнимых. Так как в тоже время во всякой точке можно провести кповерхности касательную плоскость, то поверхность имеет и бесконечноечисло асимптотических плоскостей, вещественных или мнимых. Всякая такаяплоскость заключает в себе бесконечное число А., а так как все эти А.пересекают поверхность в одной и той же бесконечно удаленной точке, тоони между собой параллельны. А.-ческая поверхность очевидно линейчатаяповерхность. Пусть уравнение данной поверхности есть F(x, у, z)=0 ипусть х - n/l = у - h/m = z - z/n есть уравнение одной из А. РасположимF по однородным функциям n-го, n-1-го и т.д. измерений: F=jn + jn-1+...+ j1 + j0 Точки пересечения А. и поверхности суть корни уравненияF(x+lr, h+mr, z+nr)= 0. Назовем через D операцию тогда будет, если jn ,jn-1 ... означают функции от l,m,n rnjn+ rn-1j1-n (Djn + jn-1)+(1/2)rn-2D2jn (Djn-1 +jn-2)+...=0 Простая A. получится, если два корня этого уравнения обратятся вбесконечность, т. е. если jn = 0 и Djn +jn-1 =0. Уравнения этипоказывают, что все асимптоты параллельны производящей коническойповерхности jn(х, у, z)=0 и что все А. параллельные одной изпроизводящих этого конуса лежать в одной плоскости параллельнойплоскости касательной в конусу с соответствующей производящей. Уравнение u=Djn + jn-1=0 есть уравнение одной асимптотическойплоскости. Для смежной асимптотической плоскости будет причем также и всилу равенства l2 + m2 + n2 =1 ldl + mdm + ndn =0 , откуда получается . Это последнее уравнение вместе с u=0 изображает линии сечения двухсмежных асимптотических плоскостей, то есть одну из производящихасимптотической поверхности. Исключая из этих двух уравнений и jn (l, m,n)=0 величины l, m, n, получим искомое уравнение асимптотическойповерхности. Можно показать, что в общем случае порядок асимптотическойповерхности для поверхности n-го порядка есть n (3n - 5). Поверхности2-го порядка суть единственные, для которых асимптотические поверхноститакже 2-го порядка. В особенных точках поверхностей их асимптотическиеповерхности могут быть низшего порядка. В каждой касательной плоскостиесть две инфлексиональные касательные; точно также в каждойасимптотической плоскости есть две инфлексиональные асимптоты,проходятся через три последовательные точки поверхности, а так какплоскость проведенная через инфлексиональную касательную пересекаетповерхность по кривой, имеющей точку перегиба в точке касания этойкасательной, то кривая пересечения поверхности и плоскости проходящейчерез инфлексиональную асимптоту имеет точку перегиба в бесконечности.Инфлексиональные асимптоты суть линии пересечения поверхности 1/2 D2 jn+ Djn-1 = 0 и плоскости Djn + jn-1 = 0. Если поверхность имеет двойную точку в бесконечности, то вместоконуса jn = 0 получится цилиндр второго порядка. Касательные в двойнойточке, вообще говоря, пересекают поверхность в трех точках. Точно такжеесть шесть производящих асимптотического цилиндра, пересекающихповерхность в четырех точках. Кривая пересечения поверхности сплоскостью параллельной направлению производящих цилиндра имеет двойнуюточку в бесконечности. Эта двойная точка обращается в угловую точку,если плоскость проходить через производящую цилиндра.