Кривизна кривой

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт совпадение (локальное, но не глобальное) изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Пусть γ(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

$\kappa=|\ddot\gamma(t)|$

называется кривизной кривой γ в точке p = γ(t), здесь $\ddot\gamma(t)$ обозначает вторую производную по t. Вектор

$k=\ddot\gamma(t)$

называется вектором кривизны γ в точке p = γ(t₀).

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой

$\kappa=\frac{|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}{|\dot\gamma|^3}$,

где $\dot\gamma$ и $\ddot\gamma$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны.

Кривизна поверхности

Пусть Φ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p — точка Φ, T_p — касательная плоскость к Φ в точке p, n — единичная нормаль к Φ в точке p, а — π_e плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T_p. Кривая γ_e , получающаяся как пересечение плоскости π_e с поверхностью Φ, называется нормальным сечением поверхности Φ в точке p в направлении e. Величина

$\kappa_e=k\cdot n$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а k — вектор кривизны γ_e в точке p, называется нормальной кривизной поверхности Φ в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γ_e.

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e₁ и e₂ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κ_e = κ₁cos²α + κ₂sin²α

где α — угол между e₁ и e₂, a величины κ₁ и κ₂ нормальные кривизны в направлениях e₁ и e₂, они называются главными кривизнами, а направления e₁ и e₂ — главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = κ₁ + κ₂, (иногда $\frac{\kappa_1+\kappa_2}2$)

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ₁κ₂

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

Литература

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.