Выборочная функция распределения

Выборочная функция распределения

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка из распределения случайной величины ~X, задаваемого функцией распределения ~F(x). Будем считать, что ~X_i, где i\in \mathbb{N}, - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов \Omega. Пусть x \in \mathbb{R}. Определим случайную величину \hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R} следующим образом:

\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n H(x-X_i),

где \mathbf{1}_A - индикатор события ~A, ~H(x) - функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке ~x равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение ~x. Случайная величина \hat{F}(x) называется выборочной функцией распределения случайной величины ~X и является аппроксимацией для функции ~F(x). Существует результат, показывающий, что при n \to \infty функция \hat{F}(x) равномерно сходится к ~F(x), и указывающий скорость сходимости.

Основные свойства

p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n,

где x_i = X_i(\omega), а N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}} - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то N_{x_i} = 1,\; \forall i.

\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega).

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x)).
\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x).
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}.
\hat{F}(x) \to F(x) почти наверное при n \to \infty.
\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right) по распределению при n \to \infty.

См.также

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Выборочная функция распределения" в других словарях:

  • Эмпирическая функция распределения — Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него. Определение Пусть выборка из распределения, задаваемого функцией распределения …   Википедия

  • Выборочная дисперсия — в математической статистике это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии. Содержание 1 Определения 2 Замечание …   Википедия

  • Распределения —         одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Р. вероятностей какой либо случайной величины, т. е. величины, принимающей в зависимости от случая то или иное численное значение, задаётся указанием возможных… …   Большая советская энциклопедия

  • Исправленная выборочная дисперсия — Выборочная дисперсия в математической статистике это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3… …   Википедия

  • КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ — действительного случайного процесса функция аргументов t, . определяемая равенством Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех имеет конечный второй момент Параметр tпробегает здесь некоторое… …   Математическая энциклопедия

  • Статистика (функция выборки) — У этого термина существуют и другие значения, см. Статистика (значения). Статистика (в узком смысле)  это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В широком смысле термин (математическая)… …   Википедия

  • Эмпирическое распределение — Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него. Определение Пусть выборка из распределения, задаваемого функцией распределения …   Википедия

  • Выборочное среднее — Выборочное (эмпирическое) среднее  это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него. Определение Пусть   выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве .… …   Википедия

  • Гистограмма (статистика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гистограмма. Гистограмма в математической статистике это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него. Содержание 1 Определение 2… …   Википедия

  • Теорема Колмогорова — в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу. Содержание 1 Формулировка 1.1 Замечание …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»