- Выборочная функция распределения
-
Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Определение
Пусть
- выборка из распределения случайной величины
, задаваемого функцией распределения
. Будем считать, что
, где
, - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов
. Пусть
. Определим случайную величину
следующим образом:
,
где
- индикатор события
,
- функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке
равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение
. Случайная величина
называется выборочной функцией распределения случайной величины
и является аппроксимацией для функции
. Существует результат, показывающий, что при
функция
равномерно сходится к
, и указывающий скорость сходимости.
Основные свойства
- Пусть зафиксирован элементарный исход
. Тогда
является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:
,
где
, а
- количество элементов выборки, равных
. В частности, если все элементы выборки различны, то
.
- Математическое ожидание этого распределения имеет вид:
.
Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.
- Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
- Случайная величина
имеет биномиальное распределение:
.
- Выборочная функция распределения
является несмещённой оценкой функции распределения
:
.
- Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
- Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:
почти наверное при
.
- Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если
, то
по распределению при
.
См.также
Статистические показатели Описательная
статистикаНепрерывные
данныеКоэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные
данныеЧастота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотезСтатистический
выводДоверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
экспериментаГенеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерииZ-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Критерий согласия Колмогорова · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами Категория:- Выборочный метод
Wikimedia Foundation. 2010.