Равномерная сходимость

Равномерная сходимость

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности f_n:X\to Y, где X — произвольное множество, Y=(Y,d)метрическое пространство, n = 1, 2,\dots сходится к функции (отображению) f:X\to Y, означающее, что для любого \varepsilon > 0 существует такой номер N_\varepsilon, что для всех номеров n>N_\varepsilon и всех точек x\in X выполняется неравенство

\left|f_n(x) - f(x)\right| < \varepsilon

Обычно обозначается f_n\rightrightarrows f.

Это условие равносильно тому, что

\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0.

Пример

  • Последовательность f_n(x)=x^n, n=1,2,\dots равномерно сходится на любом отрезке [0, a], 0 < a < 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

Свойства

  • Если Yлинейное нормированное пространство и последовательности отображений f_n:X\to Y и g_n:X\to Y, n=1,2,\dots равномерно сходятся на множестве X, то последовательности \{ f_n+ g_n\} также как и \{ \alpha f_n\} при любых \alpha\in \R также равномерно сходятся на X.
  • Для вещественнозначных функций (или, более обще, если Y — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений f_n:X\to \R, равномерно сходится на множестве X и g:X\to \R ограниченное отображение, то последовательность \{g f_n\} также равномерно сходится на X.
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций f_n:[a,b]\to \R равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции f : [a,b]\to\R, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого x\in [a,b] имеет место равенство
        \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt
    и сходимость последовательности функций
        x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt
    на отрезке [a,b] к функции
        x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций f_n : [a,b] \to\R, сходится в некоторой точке x_0, a последовательность их производных равномерно сходится на [a,b], то последовательность \{f_n\} также равномерно сходится на [a,b], её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
  • Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужны ответы на билеты?

Полезное


Смотреть что такое "Равномерная сходимость" в других словарях:

  • равномерная сходимость — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN uniform convergence …   Справочник технического переводчика

  • Равномерная сходимость —         важный частный случай сходимости (См. Сходимость). Последовательность функций fn (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого ε > 0 существует такое N = N (ε), что… …   Большая советская энциклопедия

  • РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ — последовательности функций (отображений) свойство последовательности , где X произвольное множество, Y метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) , означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e , что для всех номеров… …   Математическая энциклопедия

  • Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… …   Википедия

  • Сходимость —         математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… …   Большая советская энциклопедия

  • НОРМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ — сходимость ряда оставленного из ограниченных отображений множества в нормированное пространство Y, такая, что сходится ряд с положительными членами составленный из норм отображений Из Н. с. ряда (1) вытекает абсолютная и равномерная сходимость… …   Математическая энциклопедия

  • Поточечная сходимость — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. В математике, поточечная сходимость последовательности функций на множестве  это вид сходимости, при котором каждой точке данного множества ставится в соответствие предел… …   Википедия

  • Функциональная последовательность — Содержание 1 Функциональная последовательность 1.1 Поточечная сходимость 1.2 Равномерная сходимость …   Википедия

  • Фунциональная последовательность — Содержание 1 Функциональная последовательность 1.1 Поточечная сходимость 1.2 Равномерная сходимость …   Википедия

  • Функциональный ряд — Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае это N я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых. Функциональный ряд&# …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Равномерная сходимость» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»