КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

действительного случайного процесса - функция аргументов t,. определяемая равенством

Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех имеет конечный второй момент Параметр tпробегает здесь некоторое подмножество Тдействительной прямой и обычно интерпретируется как "время", однако совершенно аналогично определяется К. ф. случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности К. ф. случайного поля, когда Т - подмножество конечномерного пространства. Если - многомерный случайный процесс (случайная функция), то его К. ф. наз. матричнозначная функция

- взаимная корреляционная функция процессов X_i(t), X_j(t).

К. ф. является важной характеристикой случайного процесса. Если X(t) - гауссовский процесс, то его К. ф. В(t, s).и среднее значение (т. е. первые и вторые моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Напр., одинаковую К. ф. имеют гауссовский марковский стационарный процесс, траектории к-рого непрерывны, и так наз. телеграфный сигнал - точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ±1. Однако К. ф. определяет ряд важных свойств процесса - так наз. свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в ее статистич. приложениях (см. Коррелограмма).

Скорость и характер убывания корреляций при дают представление об эргодических свойствах процесса. Условия на скорость убывания корреляций в той или иной форме присутствуют в предельных теоремах для случайных процессов. Локальные свойства 2-го порядка, такие как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, дают полезную, хотя и весьма грубую характеристику локального поведения процесса. Исследование свойств траекторий в терминах К. ф. с большой полнотой проведено в гауссовском случае (см. Выборочная функция). Одним из наиболее завершенных разделов теории случайных процессов является теория линейной экстраполяции и фильтрации, позволяющая находить оптимальные линейные алгоритмы прогноза и аппроксимации случайных процессов, основываясь на знании К. ф.

Характеристическим свойством К. ф. является положительная определенность:

для любого п, любых комплексных с ₁, ..., с _n и любых В наиболее важном случае стационарного в широком смысле процесса В(t, s).зависит от разности аргументов: B(t, s)=R(t-s). Условие положительной определенности принимает тогда вид

Если R(t).дополнительно непрерывна при t= 0 (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса X(t)), то

где - положительная конечная мера; здесь l пробегает всю действительную прямую, если Т= (случай "непрерывного времени"), или отрезок если Т= {. . . ,- 1, 0, 1, . . .} (случай "дискретного времени"). Мера наз. спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; напр., скорость убывания корреляций при соответствует степени гладкости спектральной плотности и т. п.

В статистической механике К. ф. наз. также совместная плотность вероятности r(x₁, ..., х _т).нахождения тразличных частиц рассматриваемой системы в точках x₁,..., х _т;совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное случайное поле.

Лит.:[1] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965. А. С. Холево.