Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — бесконечная выборка из распределения, задаваемого непрерывной функцией распределения $F$. Пусть $\hat{F}$ — выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

$\sqrt{n} \sup\limits_{x\in \mathbb{R}} \left| \hat{F}(x) - F(x) \right| \to K$ по распределению при $n \to \infty$,

где K — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок $1/\sqrt{n}$.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция $F(x)$:

$P(\sqrt{n}D_n\leq k_\gamma)=P \left( F_n(x) - \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}}\leq F(x) \leq F_n(x) + \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}} \right) \xrightarrow{n \to \infty} K(k_\gamma) = \gamma,$

$D_n=\sup_x |F_n(x) - F(x)|,$ где $k_\gamma$ — квантиль уровня $\gamma$ закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью $\gamma$ при $n \to \infty \quad F(x)$ находится в указанном интервале.

Вероятность $\gamma$ называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической $\gamma$-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.