Квантиль

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ и $\mathbb{P}^X$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины $X$. Пусть фиксировано $\alpha\in(0,\;1)$. Тогда $\alpha$-квантилью (или квантилью уровня $\alpha$) распределения $\mathbb{P}^X$ называется число $x_\alpha\in\R$, такое что

$x_\alpha\colon\begin{cases}\mathbb{P}(X\geqslant x_\alpha)\geqslant\alpha; \\ \mathbb{P}(X<x_\alpha)\leqslant\alpha.\end{cases}$

Замечания

• Если распределение непрерывно, то $\alpha$-квантиль однозначно задаётся уравнением

$F_X(x_\alpha)=\alpha,$

где $F_X$ — функция распределения $\mathbb{P}^X$.

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

$\mathbb{P}\left(x_{\frac{1-\alpha}{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac{1+\alpha}{2}}\right)=\alpha.$

Медиана и квартили

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть $x_{0{,}75}-x_{0{,}25}$. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Перцентиль

$p$-ой перценти́лью называют квантиль уровня $\alpha=p/100$. При этом обычно рассматривают перцентили для целых $p$, хотя данное требование не обязательно. Соответственно, медиана является 50-й перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-й и 75-й перцентилями.

В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы, также, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Перцентили также называются процентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

Вероятность, %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

См. также

• Квантили нормального распределения;
• Квантили распределения Стьюдента;
• Квантили распределения хи-квадрат;
• Нормальное распределение;

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.