Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и определённые на нём случайные величины $X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots$. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на $\mathbb{R}^m$, называемую её распределением.

Случайные величины $X_n$ сходятся по распределению к случайной величине $X$, если распределения $\mathbb{P}^{X_n}$ слабо сходятся к распределению $\mathbb{P}^X$, то есть

$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx)$

для любой непрерывной ограниченной^[1][2] функции $f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$.

Замечания

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

$\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X)$.

• Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

• Случайные величины $X_n$ сходятся по распределению к $X$, если их функции распределения $F_{X_n}$ сходятся к функции распределения предела $F_X$ во всех точках непрерывности последней:

$F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)$.

• Если все случайные величины в определении дискретны, то $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X$ тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:

$\lim\limits_{n \to \infty} p_{X_n}(x) = p_X(x)$.

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

$\lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x)$ почти всюду,

то $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X$. Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в $L^p$) влечёт сходимость по распределению:

$X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X$.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Теорема Слуцкого

Примечания

1. ↑ en:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
2. ↑ en:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.