Мнимая величина

Мнимая величина
Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

Ко́мпле́ксные[1][2] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается \mathbb{C}. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению i2 = − 1. (В физике символ i часто заменяют на j, чтобы не путать с стандартным обозначением электрического тока (i)).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел \R, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x2 + 1.

Стандартная модель

Формально, комплексное число z — это упорядоченная пара вещественных чисел (x,y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

  •  (x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,
  •  (x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (x,0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой i=(0,1) \,.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида


\begin{pmatrix}
  x &   y  \\
  -y & \;\; x  
\end{pmatrix}

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать


\begin{pmatrix}
  1 &   0  \\
  0 & \;\; 1  
\end{pmatrix}

, мнимой единице —


\begin{pmatrix}
  0 &   1  \\
  -1 & \;\; 0  
\end{pmatrix}

Замечания

  • Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x2 = − 1, так как число ( − i) также удовлетворяет этому уравнению.
  • Следует также заметить, что часто используемое выражение  i=\sqrt{-1} не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Сложение
    (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Вычитание
    (a + bi) − (c + di) = (ac) + (bd)i
  • Умножение
    (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (acbd) + (bc + ad)i
  • Деление
    \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,

Связанные определения

Пусть ~x и ~y — вещественные числа такие, что комплексное число ~z=x+iy (обычные обозначения). Тогда

  • Числа x = \Re(z) или \operatorname{Re}(z) и y = \Im(z) или \operatorname{Im}(z) называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z.
    • Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым.
  • Число |z| = \sqrt{x^2+y^2} называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:
     | z | \geqslant 0 \,, причём  | z | = 0 \, тогда и только тогда, когда  z = 0 \,
     | z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \, (неравенство треугольника)
     | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,
     | z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,
  • Угол \varphi такой, что: \cos \varphi = \frac {x} {|z|} и \sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~, называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число. Из определения следует, что \operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} .

Сопряжённые числа

Если комплексное число z = x + iy, то число \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • \bar \bar z = z (сопряжённое к сопряжённому есть исходное)
  • z \cdot \bar z = |z|^2
  • \overline {z_1 \pm z_2} = \bar {z_1} \pm \bar {z_2}
  • \overline {z_1 \cdot z_2} = \bar z_1 \cdot \bar z_2
  • \overline {z_1 / z_2} = \bar z_1 / \bar z_2

Обобщение: \overline {p(z)} = p(\bar z), где p(z) — произвольный комплексный многочлен.

  • |\bar{z}| = |z| (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного)
  • \operatorname{Re}\ z=\frac {z+\bar z}{2}; \quad \operatorname{Im}\ z=\frac {z-\bar z}{2i}

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа ~z в виде ~x + iy, ~x,y\in\R, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ~i^2 = -1):

~(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)
~(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i^2bd = ac + iad + ibc - bd = (ac-bd) + i(ad+bc)

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль ~r=|z| и аргумент \varphi (x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

z=re^{i\varphi},

где e^{i\varphi} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

\cos\ \varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};
\quad \sin\ \varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}

Геометрическое представление

Геометрическое представление комплексного числа
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.

Отметим, что для пары комплексных чисел z_1\, и z_2\, модуль их разности: |z_1-z_2|\, равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

Формула Муавра

Основная статья: Формула Муавра
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),

где r — модуль, а \varphi — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =
 = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),
 \quad k=0,1...n-1

Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида a+b\sqrt{-1}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ i=\sqrt{-1} предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

См. также

Примечания

  1. Школьная энциклопедия «Математика». Издательство «Большая Российская энциклопедия». 1996 год. Гл. ред. С.М. Никольский.
  2. «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина указывает ударение компле́ксный, ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
  3. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мнимая величина" в других словарях:

  • мнимая величина — menamasis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. imaginary quantity vok. Blindgröße, f; imaginäre Größe, f rus. мнимая величина, f pranc. grandeur imaginaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Мнимая величина (книга) — Мнимая величина Wielkość urojona Жанр: Фантастика Автор: Станислав Лем Язык оригинала: Польский Публикация: 1973 …   Википедия

  • Мнимая величина (значения) — Мнимая величина см. Комплексное число «Мнимая величина» книга Станислава Лема (1973) См. также Величина (значения) …   Википедия

  • Величина (значения) — Величина может означать: Величина (математика) одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. Величина (физика) физическое свойство материального объекта, физического явления, процесса,… …   Википедия

  • Библиография Станислава Лема — Станислав Лем, Краков, 30.10.2005 …   Википедия

  • Мнимые величины — результаты, происходящие от извлечения из отрицательных количеств такого корня, показатель которого есть четное число. Мнимые величины встречаются в математике при решении многих вопросов. Корнем, как известно, называется величина, которая при… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Комплексное число — Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Комплексные[1] числа (устар. Мнимые числа …   Википедия

  • КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… …   Физическая энциклопедия

  • Квантовая механика —         волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с… …   Большая советская энциклопедия

  • Лем, Станислав — Станислав Лем Stanisław Lem …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Мнимая величина» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»