КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

       

(волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч-ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч-цы и системы, с физ. величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения в-ва. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу хим. связи, объяснить периодич. систему элементов, понять строение ат. ядер, изучать св-ва элем. ч-ц. Поскольку св-ва макроскопич. тел определяются движением и вз-ствием ч-ц, из к-рых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопич. явлений. К. м. позволила, напр., объяснить температурную зависимость теплоёмкостей газов и тв. тел и вычислить их величину, определить строение и понять мн. св-ва тв. тел (металлов, диэлектриков, ПП). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофиз. объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (напр., (см. ДЖОЗЕФСОНА ЭФФЕКТ)), в к-рых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов.

Ряд крупнейших техн. достижений 20 в. основан по существу на специфич. законах К. м. Так, квантовомеханич. законы лежат в основе работы яд. реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термояд. реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и ПП, используемых в новейшей технике, и т. д. Фундамент квантовой электроники составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. стала в значит. мере «инженерной» наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место К. м. среди других наук о движении. В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятив. механика, построенная на основе спец. теории относительности Эйнштейна (см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ). Релятив. механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин «классич. механика» будет объединять Ньютонову и релятив. механику.)

Для классич. механики в целом характерно описание ч-ц путём задания их положения в пр-ве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение ч-ц но вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для ч-ц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя, как частный случай, классич. механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятив. К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квант. теории в целом). Нерелятив. К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) — вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физ. задачу. Релятив. К. м. не явл. в такой степени завершённой и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятив. области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятив. области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, вз-ствие передаётся (распространяется) с кон. скоростью, должен существовать физ. агент, переносящий вз-ствие; таким агентом явл. физ. поле. Трудности релятив. теории — это трудности теории поля, с к-рыми встречается как релятив. классич. механика, так и релятив. К. м. В статье не будут рассматриваться вопросы релятив. К. м., связанные с квантовой теорией поля.

Соотношение между классической и К. м. определяется существованием универсальной мировой постоянной— постоянной Планка h (или h=h/2p). Постоянная h, наз. также квантом действия, имеет размерность действия и равна: h»6,62•10-27 эрг•с h=1,05•10-27 эрг•с). Если в условиях данной задачи физ. величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой величиной), применима классич. механика. Формально это условие и явл. критерием применимости классической механики. Более подробно этот критерий будет разъяснён при изложении физических основ К. м.

История создания К. м.

В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич. электродинамики к процессам вз-ствия света с в-вом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света — дуализмом света (см. ниже); вторая — с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. ж.

Впервые квант. представления (в т. ч. h) были введены в 1900 нем. физиком М. Планком в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамич.) равновесие между излучением и в-вом не может быть достигнуто, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определёнными дискр. порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света v и равна: ?=hn.

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций — световых квантов, названных позднее фотонами. Энергия фотона ?=hn. На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света.

Дальнейшее доказательство корпускулярного хар-ра света было получено в 1922 амер. физиком А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными эл-нами происходит по законам упругого столкновения двух ч-ц — фотона и эл-на (см. КОМПТОНА ЭФФЕКТ). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией ?=hn следует приписать импульс p=h/l= hn/c, где l — длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением ?=ср, справедливым в релятив. механике для ч-цы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волн. св-вами (проявляющимися, напр., в дифракции света) свет обладает и корпускулярными св-вами: он состоит как бы из ч-ц — фотонов. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волн. природа. Дуализм содержится уже в ф-ле ?=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия ? относится к ч-це, а частота n явл. хар-кой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волн. природу, а для объяснения других — корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м.

В 1924 франц. физик Л: де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 дат. физиком Н. Бором условиям квантования ат. орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой ч-це, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом ч-цы р соотношением:

l=h/p. (1)

По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные ч-цы» (эл-ны, протоны и др.) обладают волн. св-ва ми, к-рые, в частности, должны проявляться в дифракции ч-ц. В 1927 амер. физики К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию эл-нов. Позднее волн. св-ва были обнаружены и у др. ч-ц, и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ). В 1926 австр. физик Э. Шредингер предложил ур-ние, описывающее поведение таких «волн» во внеш. силовых полях. Так возникла волновая механика. Волн. ур-ние Шредингера явл. основным ур-нием нерелятив. К. м. В 1928 англ. физик П. Дирак сформулировал релятив. ур-ние, описывающее движение эл-на во внеш. силовом поле; Дирака уравнение стало одним из осн. ур-ний релятив. К. м.

Вторая линия развития (также являющаяся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости тв. тел. Эл.-магн. излучение, представляющее собой набор эл.-магн. волн разл. частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения в-вом происходят квантами с энергией hn, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. значения энергии — дискр. уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hn. Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение тв. тел сводится к колебаниям атомов, то и тв. тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантованна, т. е. разность соседних уровней энергии должна равняться hn, где n — частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом (Германия), сыграла выдающуюся роль в развитии теории тв. тел.

В 1913 Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель к-рого вытекала из результатов опытов англ. физика Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряж. ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряж. эл-ны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату — невозможности существования стабильных атомов: согласно классич. электродинамике, эл-н не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время = 10-8 с эл-н должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению эл-нов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения эл-на в электрич. поле ат. ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определ. условиям квантования, требующим, чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h. Бор постулировал, что, совершая допускаемое условиями квантования орбит. движение (т. е. находясь на определ. уровне энергии), эл-н не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе эл-на с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии ?i на другой, с меньшей энергией ?k при этом рождается квант света с энергией

hn=?i-?k. (2)

Так возникает линейчатый спектр атома. Бор получил правильную ф-лу для частот спектр. линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ). Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка — Герца опытами (1913—14).

Т. о., Бор, используя квант. постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение эл-нов в атоме, законы к-рого существенно отличаются от законов классич. механики. Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волн. дуализма.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квант. теории, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусств. правила квантования, к тому же противоречащие классич. электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение эл-нов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение связи между атомами, приводящей к образованию молекулы, и др. «Полуклассич.» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется эл-н при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение эл-нов в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении эл-на между уровнями несовместим с хар-ром законов, определяющих поведение эл-нов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 нем. физик В. Гейзенберг построил такую формальную схему, в к-рой вместо координат и скоростей эл-на фигурировали некие абстрактные алгебр. величины — матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квант. переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П. Иорданом (Германия). Так возникла матричная механика. Вскоре после появления ур-ния Шредингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шредингера) и матричной механики. В 1926 Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончат. формирование К. м. как последоват. теории с ясными физ. основами и стройным матем. аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение — важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качеств. результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые амер. физиками Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому швейц. физиком В. Паули) о том, что эл-ну, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутр. хар-ка — спин. Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета ((см. ПАУЛИ ПРИНЦИП), см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атома, молекулы, ядра, тв. тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории ат. спектров, строения молекул, хим. связи, периодич. системы элементов, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Дальнейшее принципиальное развитие квант. теории связано гл. обр. с релятив. К. м. Нерелятив. К. м. развивалась в осн. в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, тв. тел (металлов, ПП), плазмы и т. д., а также совершенствования матем. аппарата и разработки количеств. методов решения разл. задач.

Вероятности и волны.

Законы К. м. не обладают той степенью наглядности, к-рая свойственна законам классич. механики. Поэтому целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её осн. положения. Выбор фактов, на базе к-рых строится теория, не единствен, поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, часть отражается от неё. Известно, что свет состоит из «ч-ц» — фотонов.

Что же происходит с отдельным фотоном при попадании его на пластинку? Если поставить опыт (напр., с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что при встрече с пластинкой фотон не расщепляется на два, его индивидуальность как ч-цы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё. Если поместить такую же пластинку на пути прошедшего (или отражённого) света, то будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, часть отразится. Следовательно, одинаковые ч-цы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, т. е. поведение фотона при встрече с пластинкой не предсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод явл. одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волн. св-вами ч-ц и построения теории квантовомеханич. явлений.

Волн. теория легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через неё, однозначно предсказывая отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения интенсивность света пропорц. числу фотонов, следовательно, волн. оптика позволяет определить отношение чисел прошедших (N1) и отражённых (N2) фотонов, N1/N2(N1+N2)=N—полное число падающих на пластинку фотонов). Поведение же одного фотона, естественно, ею не описывается. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё — случайные события: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом N отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волн. оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w1 пройти через пластинку и с вероятностью w2 отразиться от неё, так что в ср. пройдёт пластинку w1N ч-ц, а отразится w2N ч-ц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел ч-ц точно совпадают с истинными. Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимоисключающих) событий — прохождение или отражение, равна w1+w2=1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w21, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй — w1w2 (что соответствует разделению света второй пластинкой на прошедший и отражённый в том же отношении, что и первой). Это закон умножения вероятностей, справедливый для независимых событий. Аналогичные опыты с пучком эл-нов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отд. ч-цы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: вз-ствие «классич.» ч-ц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квант. неопределённостей и делало бы поведение «классич.» ч-ц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма). Т. о., возможная формулировка задачи К. м.— предсказание вероятностей разл. процессов (в отличие от классич. механики, предсказывающей в принципе достоверные события). Вероятностное описание возможно и в классич. механике: когда нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный хар-р. Примером служит классич. статистич. физика, оперирующая с усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квант. и классич. механики была бы не столь велика, если бы осн. понятиями К. м. были именно вероятности.

Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, усложним рассмотренный выше опыт по отражению света. Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 (рис. 2) меняет направление и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок. Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Однако известно, что в результате интерференции света интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Что же можно сказать о поведении отд. фотона в пнтерференц. опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом (рис. 1) и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями, т. е. эти два пути не явл. альтернативными. Т. о., наличие двух возможных путей прихода фотона от источника к детектору существ. образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог прийти двумя разл. путями. Аналогичный опыт, проведённый с пучками др. микрочастиц, даёт тот же результат. Возникающие представления действительно радикально отличаются от классических: невозможно представить себе движение ч-цы одновременно по двум путям. Но К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками ч-ц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волн. опыта с точки зрения корпускулярных представлений. Полученный результат означает невозможность классич. описания движения ч-ц по траекториям, отсутствие наглядности квант. описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла ч-ца, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что ч-ца будет зарегистрирована в к.-л. одном детекторе. Но как только измерение выделит определ. траекторию ч-цы, интерференц. картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории ч-цы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей (или вероятностей), к-рое было бы в случае «классич.» ч-ц, движущихся по определ. траекториям.

Для квант. явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит. приборы. В классич. физике предполагается, что состояние системы при измерении не меняется. В квант. физике такое предположение несправедливо: измерит. прибор сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит. прибора в квант. явлениях была всесторонне проанализирована Бором и Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей (см. ниже).

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физ. явления безотносительно к приборам, напр. св-ва ч-ц «самих по себе». Примерами могут служить решаемые К. м. задачи об уровнях энергии атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях, об интерференц. явлениях. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфич. вопросы, лишённые, как выяснилось, смысла, напр. вопрос о том, по какой траектории двигался эл-н в интерференц. опыте (т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции) .

Интерференц. опыт, как и опыт по отражению света, легко объясняется на основе волн. оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью I или амплитудой А (I = А2), но и фазой j. Совокупность действит. величин А и j принято объединять в одно комплексное число — комплексную амплитуду: y=Aeij. Тогда

I=|y|2=y•y=A2,

где y* — ф-ция, комплексно сопряжённая с y.

Т..к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света (рис. 1) ситуация именно такая: имеются две волны с комплексными амплитудами y1 и y2, но одна из них существует только справа, а другая только слева от пластинки; интенсивности этих волн

I1=A21, I2=A22,

т. е. фазы не фигурируют. В интерференц. опыте (рис. 2) ситуация иная: волна с амплитудой y2 с помощью зеркала попадает в область нахождения волны с амплитудой y1. Волн. поле в области существования двух волн определяется с помощью принципа суперпозиции: волны складываются с учётом их фаз. Амплитуда суммарной волны y равна сумме комплексных амплитуд обеих волн:

y=y1+y2=A1еij1+A2еij2. (3)

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз j1-j2 (к-рая пропорц. разности хода световых пучков по двум путям):

|y|2 = |А1еij2+A2еijj2|2=A21+A22+ 2A1A2cos(j1-j2). (4)

Если А1=А2 и cos(j1-j2)=-1, то |y|2=0.

В более общем случае из-за изменения условий опыта (напр., св-в зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что комплексной амплитудой суммарной волны будет y=c1y1+с2y2, где c1 и с2 — комплексные числа. Суть явления при этом остаётся прежней. Хар-р явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить y в С раз (С может быть как комплексным, так и действительным), то интенсивность увеличится в |С|2 раз, т. е. |С|2 будет общим множителем в ф-ле распределения интенсивностей.

Для интерпретации волн. явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности y=Aeij, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что вероятность w=|Cy|2=|C|2y*y. Здесь С — число, наз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения ч-цы во всех возможных местах равнялась единице, т. <е. Siwi=1. Множитель С определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит. вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. волновой функцией. Амплитуды вероятности, как и оптич. амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции: если y1 и y2 — амплитуды вероятности прохождения ч-цы соотв. первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна: y=y1+y2. Тем самым фраза: «Ч-ца прошла двумя путями», приобретает волн. смысл, а вероятность w=|y1+y2|2 обнаруживает интерференц. св-ва.

Следует подчеркнуть, что смысл, вкладываемый в понятие суперпозиции в оптике (и др. волн. процессах) и в К. м., различен. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. Квантово-механические же амплитуды вероятности описывают альтернативные, с классич. точки зрения исключающие друг друга движения (напр., волны y1 и y2 соответствуют ч-цам, приходящим в детектор двумя разл. путями). Сложение таких движений совершенно непонятно с позиции классич. физики. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия этого принципа в К. м. (возможность для ч-цы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути ч-цы приведет к тому, что с вероятностью |y1|2 ч-ца пройдёт первым и с вероятностью |y2|2 — вторым путём; суммарное распределение ч-ц на экране будет определяться вероятностью |y1|2+|y2l'2, т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференц. опыта приводит к след. выводам. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., явл. амплитуда вероятности, или волн. ф-ция системы; осн. черта такого квантовомеханич. описания — предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

В общем виде принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условиях возможны разл. квант. состояния ч-цы (или системы ч-ц), к-рым соответствуют волн. ф-ции y1, y2,..., yi..., то существует и состояние, описываемое волн. ф-цией

Siciyi,

где ci — произвольные комплексные числа. Если yi описывают альтернативные состояния, то |ci|2 определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волн. ф-цией yi и

S|ci|2=1.

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из осн. задач К. м.— нахождение волн. ф-ции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся ч-цы. Согласно де Бройлю, со свободной ч-цей, имеющей импульс р, связана волна с длиной l=h/p. Это означает, что волн. ф-ция свободной ч-цы y(z) — волна де Бройля — должна быть такой ф-цией координаты х, чтобы при изменении x на l волн. ф-ция y возвращалась к прежнему значению: y(x+l)=y(x). Таким св-вом обладает ф-ция ei2px/l=elkx, где k=2p/l — волн. число. Т. о., состояние ч-цы с определ. импульсом p=(h/2p)k=ћk описывается волновой ф-цией:

y=Ceikx=Ceipx/Ћ, (5)

где С — постоянное комплексное число. Квадрат модуля волн. ф-ции, |y|2, не зависит от х, т. е. вероятность нахождения ч-цы, описываемой такой y, в любой точке пр-ва одинакова. Другими словами, ч-ца со строго определ. импульсом совершенно нелокализована. Конечно, такая ч-ца — идеализация (но идеализацией явл. и волна со строго определ. длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса ч-цы). Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым явл. импульс ч-цы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств. выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию нек-рого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими k, заключёнными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волн. ф-ция y(x), наз. волновым пакетом, имеет такой хар-р: вблизи нек-рого фиксиров. значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от х0(|х—х0|->l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волн. ф-ция сосредоточена в области шириной Ах, обратно пропорц. интервалу Dk, т. е.

Dx»1/Dk, или DxDp»Ћ,

где Dр=ћDk:—неопределённость импульса ч-цы. Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую ф-цию y(x) с помощью преобразования Фурье можно представить как наложение простых периодич. волн, при этом соотношение неопределённостей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DxD?l/2, или

DрDх?ћ/2, (6)

где под неопределённостями Ар и Ах понимаются среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений (т. е. дисперсии). Физ. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс ч-цы имеют одновременно точные значения. Масштаб их неопределённостей задаётся постоянной Планка Ћ. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение ч-цы будет описываться законами классич. механики — как движение по определ. траектории.

Принцип неопределённости — фундам. принцип К. м., устанавливающий физ. содержание и структуру её матем. аппарата. Кроме того, он играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важный пример — проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть эл-н движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона, сила притяжения эл-на к ядру равна

е2/r2,

где е — заряд эл-на, а центростремит. ускорение равно v2/r.

По второму закону Ньютона,

mv2/r=е2/r2,

где m — масса эл-на, т. е. радиус орбиты r=e2/mv2 может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика.

Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения эл-на в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах v, т. е. импульса в пределах Dp=mv, то соотношение неопределённостей примет вид: mvr?ћ. Учитывая связь между v и r, получим v?е2/ћ и r?ћ2/me2. Следовательно, движение эл-на по орбите с rатом устойчив. Величина r0 и явл. радиусом атома водорода (боровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома ?0 (равная полной энергии эл-на в атоме, т. е. сумме кинетич. энергии mv2/2 и потенц. энергии — е2/r0, что составляет: ?0=-е2/2r0»13,6 эВ), определяющая его мин. энергию — энергию осн. состояния.

Т. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные ћ, т, е. «Малость» ат. размеров оказалась связанной с тем, что мала ћ.

Строгое решение задачи о движении эл-на в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения — ур-ния Шредингера (см. ниже); решение ур-ния Шредингера даёт волн. ф-цию y, к-рая описывает состояние эл-на, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида y, можно утверждать, что эта волн. ф-ция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации эл-на в области размером ?r0 и разбросу по импульсам Dр = ћ/r0.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и мин. энергию, объясняет св-ва гелия, к-рый при норм. давлении ни при каких темп-pax не превращается в тв. состояние, даёт качеств. представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Стационарное уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние ч-цы только в случае свободного движения. Если на ч-цу действует поле сил с потенц. энергией V, зависящей от координат ч-цы, то её волн. ф-ция y определяется дифф. ур-нием, к-рое получается путём след. обобщения гипотезы де Бройля. Для случая одномерного свободного движения ч-цы (вдоль оси х) с пост. энергией ? ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где р=?2m? — импульс свободно движущейся ч-цы массы m. Если ч-ца с энергией ? движется в потенц. поле, не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен: р2=2m(?-V(x)). Простейшим обобщением ур-ния (*) явл. поэтому ур-ние

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к осн. ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала, определяющего V(x). Рассмотрим два типичных случая.

1) Потенциальная стенка:

V=0 при х<0, V=V1>0 при х>0.

Если полная энергия ч-цы больше высоты стенки, т. е. ?>V, и ч-ца движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области x<0 имеет вид двух волн де Бройля — падающей и отражённой:

где ћ2k20/2m=p20/2m=? (волна с волн. числом k-=-k0 соответствует движению справа налево с тем же импульсом р0),

а при х > 0 — проходящей волны де Бройля:

y=C1eik1x,

где ћ2k21/2m=p21l2m=?-V1. Отношения |C1/C0|2 и |С'0/С0|2 определяют вероятности прохождения ч-цы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения (т. н. надбарьерное отражение) — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классич.» ч-ца свободно проходит над таким барьером (стенкой), и лишь импульс её уменьшается до значения р1=?((2m(e-V1)).

Если ?0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и ч-ца не заходит в такую область пр-ва — она отражается от потенц. стенки. Волн. движение имеет др. хар-р. Отрицат. значение k2(p2/2m.=ћ2k2/2m<0) означает, что k — чисто мнимая величина, k=ic, где c вещественно. Поэтому волна eikx превращается в е-cx, т. е. колебат. режим сменяется затухающим (c>0, иначе получился бы лишённый физ. смысла неогранич. рост волны с увеличением х). Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4, б) изображено качеств. поведение y(x), точнее, её действит. части.

2) Две области, свободные от сил, разделены прямоуг. потенциальным барьером, и ч-ца движется к барьеру слева с энергией ?

барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V-?) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, наз. туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада (вылет из радио-акт. ядер a-частиц). В термояд. реакциях, протекающих при темп-рах в десятки и сотни млн. градусов, осн. масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия яд. сил в результате туннельных переходов. Туннельный эффект объясняет также автоэлектронную эмиссию, контактные явления в металлах и ПП и мн. др. Уровни энергии. Рассмотрим поведение ч-цы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть V(x)?0 в нек-рой огранич. области, причём V(x)<0 (что соответствует силам притяжения). Как классическое, так и квант. движение существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия ? ч-цы.

При ?>0 «классич.» ч-ца проходит над ямой и удаляется от неё. В отличие от классич. случая, при квантовомеханич. движении происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ч-цы ничем не ограничены — её энергия имеет непрерывный спектр. При ?<0 ч-ца оказывается «запертой» внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях ?<0. В К. м. ситуация иная.

Волн. ф-ция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-cc. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях ?, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискр. значений ?n может быть конечным или бесконечным, но всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение ?0, лежащее выше дна потенц. ямы; номер решения n наз. квант. числом. Т. о., энергия ч-цы (или физ. системы) имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот w=-?n/ћ, где w=2pn — круговая частота) — типично волн. явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волн. движение происходит в огранич. пр-ве. Так, частоты колебаний струны или частоты эл.-магн. волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и св-вами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, математически ур-ние Шредингера подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора. Проиллюстрируем дискр. спектр энергии на примере квант. осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние ч-цы от положения

равновесия. Кривая (парабола) изображает собой потенц. энергию ч-цы. В этом случае ч-ца при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии ч-цы. Энергия низшего уровня ?=Ћw/2 — наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение ч-цы на дне ямы (?=0) означало бы точное равновесие, при к-ром x=0 и р=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом Ћw; ф-ла для энергии n-го уровня:

Над каждой горизонтальной прямой на рис. 6 приведена действит. часть волн. ф-ции данного состояния. Характерно, что число узлов волн. ф-ции равно квант. числу n уровня энергии. За пределами ямы волн. ф-ция быстро затухает.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром. В зависимости от вида потенциала поля, определяющего потенц. энергию ч-цы (а следовательно, от хар-ра вз-ствия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной ч-цы), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях — непрерывны).

Особенно важен случай, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискр. спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квант. систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её вз-ствиях с др. системами не превысит определ. значения — ширины щели. Поэтому при огранич. обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная ч-ца (матер. точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, в частности, особенностей теплового движения ч-ц. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, ат. эл-ны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шредингера.

До сих пор рассматривались лишь возможные квант. состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика). Полное решение задач К. м. должно давать y как ф-цию координат и времени t. Для одномерного движения (вдоль оси х) она определяется ур-нием

являющимся ур-нием движения в К. м. и наз. временным уравнением Шредингера. Оно справедливо и в случае, когда потенц. энергия зависит от времени: V=V(х, t). Частными решениями ур-ния (9) явл. ф-ции

Здесь ? — энергия ч-цы, a y(х) удовлетворяет стационарному ур-нию Шредингера (7); для свободного движения y(х) представляет собой волну де Бройля eikx и y(x, t) = ei(kx-wt). Волн. ф-ции (10) обладают тем важным св-вом, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т. к. ?y(x,t)?2=?y(x)?2. Поэтому состояния, описываемые такими волн. ф-циями, наз. стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м. Общим решением временного ур-ния Шредингера явл. суперпозиция стационарных состояний. В этом (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия ? системы не имеет определ. значения. Так, если y(x, t)=С1e(k1x-ww1t)+ + C2ei(k2x-w2t), то ? =Ћw1 с вероятностью |С1|2 и ?=Ћw2 с вероятностью |С2|2. Для энергии и времени существует соотношение неопределённостей:

D?Dt=ћ, (11)

где D? — дисперсия энергии, а Dt — промежуток времени, в течение к-рого энергия может быть измерена.

Трёхмерное движение. В общем случае движения ч-цы в трёх измерениях волн. ф-ция зависит от координат х, у, z и времени: y=y(х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид:

где рх, py, pz — три проекции импульса на оси координат, а ?= (p2x+p2y +p2z)/2m. Соотв. имеются три соотношения неопределённостей:

Временное ур-ние Шредингера имеет вид:

Это ур-ние принято записывать в символич. форме:

дифф. оператор, наз. оператором Гамильтона или гамильтонианом. Стационарным решением ур-ния (14) является

y0 — решения ур-ния Шредингера для стационарных состояний:

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда неск. разных состояний, описываемых разными волн. ф-циями, имеют одинаковую энергию; такие состояния наз. вырожденными. В случае непрерывного спектра ч-ца уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности — прохождение или отражение), при трёхмерном движении ч-ца может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первонач. движения, т. е. рассеяться. Волн. ф-ция ч-цы теперь явл. суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные ч-цы удобно описывать в сферич. координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами — широтой q и азимутом j. Соответствующая волн. ф-ция на больших расстояниях от центра сил имеет вид:

Первый член (пропорц. волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие ч-цы, а второй (пропорц. «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Ф-ция f(q, j) наз. амплитудой рассеяния; она определяет дифф. сечение рассеяния da, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds=|f(q, j)|2dW, (18)

где dW — элемент телесного угла, в к-рый происходит рассеяние.

Дискр. спектр энергии возникает (как и при одномерном движении), когда ч-ца оказывается внутри потенц. ямы. Уровни энергии нумеруют квант. числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя.

Момент количества движения.

Очень важной задачей явл. движение в поле центр. сил притяжения. Угл. часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической, заданием момента кол-ва движения М, к-рый при движении в поле центр. сил сохраняется. Но, в отличие от классич. механики, в К. м. момент может принимать только вполне определённые дискр. значения, т. е. имеет дискр. спектр. Это можно показать на примере орбитального (азимутального) движения ч-цы — вращения вокруг заданной оси (принимаемой за ось z). Волн. ф-ция в этом случае имеет вид «угл. волны де Бройля» еimj, где j — азимут, а число m так же связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волн. число k с импульсом р, т. е. m=Мz/ћ. Т. к. углы j и j+2p описывают одно и то же положение системы, то и волн. ф-ция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что т может принимать только целые значения: m=0, ±1, ±2,..., т. <е. Мz может быть равен:

Mz=mћ=0, ±ћ, ±2ћ, ... (19)

Вращение вокруг оси z — только часть угл. движения (проекция движения на плоскость ху), а Мz — проекция полного момента М на ось r.

Для определения М надо знать две остальные его проекции. Но в К. м. три составляющие момента не могут одновременно иметь точные значения. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо — координату, перпендикулярную импульсу, а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут принимать точно определ. значения. Оказывается, что кроме Mz, задаваемой числом m, можно одновременно точно задать величину момента, определяемую целым числом l:

M2=ћ2l(l+1), l=0, 1, 2, ... (20)

Т. о., при описании угл. движения ч-цы вводятся два квант. числа — l и т. Число l наз. орбитальным квантовым числом; от него может зависеть значение энергии ч-цы (как в классич. механике от вытянутости орбиты). Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения 0, ±1, ±2, ..., ±l — всего 2l+1 значений; от m энергия не зависит, т. к. само значение т зависит от выбора оси z, а поле сферически симметрично. Поэтому уровень с квант. числом l имеет (2l+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр. при помещении системы в магн. поле (Зеемана эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычной потенц. энергии) центробежной энергии М2/2m0r2=ћ2l(l+1)/2m0r2 (здесь m0 — масса ч-цы). Решение ур-ния Шредингера для радиальной части волн. ф-ции атома определяет его уровни энергии; при этом вводится третье квант. число — радиальное nr или главное n, к-рые связаны соотношением: n=nr+l+1, nr=0, 1, 2, ..., n=1, 2, 3, ... . В частности, для движения эл-на в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются ф-лой:

(me — масса эл-на), т. е. энергия зависит только от га. Для многоэлектронных атомов, в к-рых каждый эл-н движется не только в поле ядра, но и в поле остальных эл-нов, уровни энергии зависят также и от l.

На рис. 3 в статье Атом приведены распределения электронной плотности вокруг ядра в атоме водорода для состояний с низшими значениями квант. чисел n, l и m. Видно, что задание момента (чисел l и m) полностью определяет угл. распределение. В частности, при l=0(M2=0) распределение электронной плотности сферически симметрично. Т. о., квант. движение при малых l совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со ср. значением радиуса r?0 отвечает как бы классич. движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклонённых под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом. Это различие между квантовомеханич. и классич. движениями — следствие соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квант. числах длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

В этом случае квантовомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения ч-ц по определ. траекториям, подобно тому как законы волн. оптики в аналогичных условиях переходят в законы геом. оптики. Условие малости де-бройлевской длины волны (22) означает, что pL ->ћ, где pL по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия ћ можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при ћ®0. В этом пределе исчезают все спецнфич. квантовомеханич. явления, напр. обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин.

В К. м. ч-ца (как сложная, напр. ядро, так и элементарная, напр. эл-н) может иметь собств. момент кол-ва движения, наз. спином. Это означает, что ч-це можно приписать квант. число (J), аналогичное орбит. квант. числу l. Квадрат собств. момента кол-ва движения имеет величину ћ2/(J+1), а проекция момента на определ. направление может принимать 2J+1 значений от -ћJ до +ћJ с интервалом ћ. Т. о., состояние ч-цы (2J+1)-кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля ч-цы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2J+1 поляризаций. Число поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квант. число J может быть как целым (0,1,2,...), так и полуцелым (1/2, 3/2, 5/2,...) числом. Напр., спин эл-на, протона, нейтрона равен 1/2 (в единицах ћ); спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов,— целый (или нулевой), а из нечётного — полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (равным 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятив. К. м.) для таких ч-ц число поляризаций равно двум (а не 2J+1=3).

Системы многих частиц. Тождественные частицы.

Квантовомеханич. ур-ние движения для системы, состоящей из N ч-ц, получается соответствующим обобщением ур-ния Шредингера для одной ч-цы. Оно содержит потенц. энергию, зависящую от координат всех ч-ц, и включает как воздействие на них внеш. поля, так и вз-ствие ч-ц между собой. Волн. ф-ция также явл. ф-цией от координат всех ч-ц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пр-ве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пр-ве утрачивается. Но теперь это несущественно, поскольку известен смысл волн. ф-ции как амплитуды вероятности.

Если Квантовомеханич. системы состоят из одинаковых ч-ц, то в них наблюдается специфич. явление, не имеющее аналогии в классич. механике. В классич. механике случай одинаковых ч-ц тоже имеет нек-рую особенность. Пусть, напр., столкнулись две одинаковые «классич.» ч-цы (первая двигалась слева, а вторая — справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая — вверх, вторая — вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из ч-ц пошла, напр., вверх, поскольку ч-цы одинаковы,— практически надо учесть обе возможности (рис. 7, а и 7, б).

Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями ч-ц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе ч-цы проходят с нек-рой неопределённостью, с «размытыми траекториями» (рис. 7, в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые ч-цы становятся полностью неразличимыми — тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай — одна ч-ца пошла вверх, другая — вниз, индивидуальности у ч-ц нет. Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых ч-ц можно сформулировать математически на языке волн. ф-ций. Нахождение ч-цы в данном месте пр-ва определяется квадратом модуля волн. ф-ции, зависящей от координат обеих ч-ц, |y(l, 2)|2, где 1 и 2 означают совокупность координат и спин соотв. первой и второй ч-цы. Тождественность ч-ц требует, чтобы при перемене местами ч-ц вероятности были одинаковыми, т. е.

|y(1, 2)|2=|y(2, 1)|2. (23)

Отсюда вытекают две возможности:

y(1, 2)=y(2, 1), (24, а)

y(1, 2) =-y(2, 1). (24, б)

Если при перемене ч-ц местами волн. ф-ция не меняет знака, то она наз. симметричной (случай (24,а)), если меняет,— антисимметричной (случай (24, б)). Т. к. все вз-ствия одинаковых ч-ц симметричны относительно переменных 1, 2, то св-ва симметрии или антисимметрии волн. ф-ции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождеств. ч-ц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары ч-ц. Поэтому св-во симметрии или антисимметрии — характерный признак данного сорта ч-ц. Соответственно, все ч-цы делятся на два класса: ч-цы с симметричными волн ф-циями наз. бозонами, с антисимметричными— фермионами. Существует связь между значением спина ч-ц и симметрией их волн. ф-ций: ч-цы с целым спином явл. бозонами, с полуцелым — фермионами (т. н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано Паули теоретически (оно явл. одной из осн. теорем релятив. К. м.). В частности, эл-ны, протоны, нейтроны явл. фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны — бозонами. Сложные ч-цы (напр., ат. ядра), состоящие из нечётного числа фермионов, явл. фермионамн, а из чётного — бозонами.

Св-ва симметрии волн. ф-ции определяют статистические св-ва системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств. ч-цы находятся в одинаковых внеш. условиях (напр., во внеш. поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения — числа ч-ц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квант. чисел. Но если тождеств. ч-цы имеют одинаковые квант. числа, то их волн. ф-ция симметрична относительно перестановки ч-ц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волн. ф-ция должна быть антисимметричной. Это св-во наз. принципом запрета Паули или Паули принципом. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т. <к. эл-ны явл. фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение эл-нов в атомах, в молекулах и т. д. Для бозонов же числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учетом квантовомеханич. св-в тождеств. ч-ц существует два типа статистик ч-ц: Ферми — Дирака статистика для фермионов и Бозе — Эйнштейна статистика для бозонов. Пример системы, состоящей из фермионов (ферми-системы),— электронный газ в металле, пример бозе-системы — газ фотонов (т. е. равновесное эл.-магн. излучение), жидкий 4Не.

Принцип Паули явл. определяющим для понимания структуры периодич. системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число эл-нов, равное кратности вырождения этого уровня. Кратность вырождения зависит от орбит. квант. числа и от спина эл-на (s); она равна:

(2l+1)(2s+1)=2(2l+1).

Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. АТОМ).

Обменное взаимодействие. Химическая связь.

Молекула представляет собой связ. систему ядер и эл-нов, между к-рыми действуют электрические (кулоновскне) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее эл-нов, эл-ны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что система такого типа не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятно с точки зрения классич. представлений существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с ковалентной хим. связью (напр., простейшей молекулы — Н2). Оказалось, что св-во антисимметрии электронной волн. ф-ции так изменяет хар-р вз-ствия эл-нов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода Н2, состоящую из двух протонов и двух эл-нов. Волн. ф-ция такой системы представляет собой произведение двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая — только от спиновых переменных обоих эл-нов. Если суммарный спин эл-нов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая ф-ция антисимметрична относительно нерестановки спиновых переменных эл-нов, и для того чтобы полная волн. ф-ция (в соответствии с принципом Паули) была антисимметричной, координатная часть волн. ф-ции yr должна быть симметричной относительно перестановки координат эл-нов. Это означает, что yr имеет вид:

yr=ya(1) yb(2)+yb(1) ya(2), (25)

где ya(i), yb(i) — волн. ф-ции i-того эл-на (i=1,2) соотв. у ядра a и b.

Кулоновское вз-ствие пропорц. плотности электрич. заряда r=e|y|2=еyy*. При учёте св-в симметрии e|y|2, помимо плотности обычного вида:

e|y|(1)|2|2|yb(2)|2, e|yb(1)|2|ya(2)|2, соответствующих движению отд. эл-нов у разных ядер, появляется плотность вида:

ey*a(1)y*b(2)ya(2),

ey*b(1)y*b(2)ya(2), ey*b(l)ya(l)y*a(2)yb(2).

Она паз. обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена эл-нами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряж. ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной хим. связи. При суммарном спине эл-нов, равном единице, yr антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицат. знак, а следовательно, уменьшает плотность отрицат. электрич. заряда между ядрами, приводит как бы к дополнит. отталкиванию ядер. Т. о., симметрия волн. ф-ции приводит к «дополнительному», обменному взаимодействию. Характерна зависимость этого вз-ствия от спинов эл-нов. Непосредственно динамически спины не участвуют во вз-ствии — источником вз-ствия явл. электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами, но в зависимости от ориентации спинов волн. ф-ция, антисимметричная относительно перестановки двух эл-нов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения эл-нов (их координат). От типа же симметрии yr зависит знак обменной плотности и соотв. эфф. притяжение или отталкивание ч-ц в результате обменного вз-ствия. Так, спины эл-нов благодаря квантовомеханич. специфике св-в тождеств. ч-ц фактически определяют хим. связь. Расчёты строения и св-в молекул на основе К. м. явл. предметом квантовой химии.

Обменное вз-ствие играет существ. роль во мн. явлениях, напр. объясняет ферромагнетизм. Множество явлений в конденсиров. телах тесно связано со статистикой образующих их ч-ц и с обменным вз-ствием. Условие антисимметрии волн. ф-ции для фермионов приводит к тому, что они при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга, даже если между ними не действуют никакие силы. В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волн. ф-циями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат в основе сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квант. генераторов и квант. усилителей).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятив. К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Матем. аппарат К. м. обладает логич. безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.

Первым осп. понятием К. м. явл. квантовое состояние. Выбор матем, аппарата К. м. диктуется физ. принципом суперпозиции квант. состояний, вытекающим из волн. св-в ч-ц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, явл. также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором — вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волн. ф-ции), являющимся элементом линейного «пр-ва состояний». Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пр-в. Вектор состояния обозначается, по Дираку, |y>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |y> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на другой вектор, т. е. составить скалярное произведение |y> с любым другим вектором состояния |y'>; оно обозначается как и явл. комплексным числом, причём

*. (26)

Скалярное произведение вектора |y|> с самим собой, ,— положит. число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пр-ве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |y> к другому вектору |y'> или произвести преобразование |y>®|y'>. Символически эту операцию можно записать как результат действия на |y> нек-рого линейного оператора L^:

При этом |y'> может отличаться от |y> длиной и направлением. Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. <м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов |y1> и |y2> получается суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора L^ играют такие векторы |y>?|yl>, для к-рых |y'> совпадает по направлению с |y>, т. е.

где l — число. Векторы |yl > наз. собственными векторами оператора L^, а числа l, — его собственными значениями. Собств. векторы |yl> принято обозначать просто |l>, т. е. |yl>?|l>. Собств. значения l образуют либо дискр. ряд чисел (тогда говорят, что оператор L^ имеет дискр. спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы, собств. значения l к-рых вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пр-ве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу: можно разложить по этому базису:

При этом:

что эквивалентно теореме Пифагора; если |y> нормирован на единицу, то

Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определённое (единств.) значение. По существу это св-во явл. определением измеримой (физ.) величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, наз. собственными состояниями этой, величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собств. состояний к.-л. физ. величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собств. векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физ. величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту кол-ва движения, энергии и т. д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L^. Собств. значения l оператора L^ интерпретируются как возможные значения физ. величины L, получающиеся при измерениях. Если вектор состояния |y> — собств. вектор оператора L^, то физ. величина L имеет определ. значение. В противном случае L принимает разл. значения l с вероятностью |сl|2, где сl — коэфф. разложения |y> по |l>:

|y?Slcl|l>. (34)

Коэфф. cl= разложения |y> в базисе |l> наз. также волн. ф-цией в l-представлении. В частности, волн. ф-ция y(х) представляет собой коэфф. разложения вектора состояния |y> по собств. векторам оператора координаты х^:

y(x)=

Ср. значение L наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэфф. сl, согласно общему соотношению между вероятностью и ср. значением:

Значение L можно найти непосредственно через L^ и |y> (без определения коэфф. сl) по ф-ле:

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ. величинам, как импульс, момент кол-ва движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе Ћ®0 рассматриваемые физ. величины принимали «классич.» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся нек-рые линейные эрмитовы операторы (напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат (пространственной инверсии), перестановке одинаковых ч-ц), к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов (напр., чётность).

С операторами можно производить алгебр. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обычных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числами), операторы явл. такими «числами» (q-числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L^ и М^ — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |y> в разл. порядке даёт разные векторы: L^М^|y>?М^L^|y>, т. е. L^M^? M^L^. Величина L^M^-M^L^ обозначается как (L^, M^) и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. (L^, М^)=0, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определ. значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что если (L^, М^)=с, то

DLDM?|c|/2,

где DL и DM — среднеквадратичные отклонения от ср. значений для соответствующих величин.

Возможна такая матем. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и ур-ния движения, но они превращаются в уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти осн. коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса (х^, p^)=iћ. Отсюда следует соотношение неопределённостей DрDх?ћ/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса в координатном представлении. Тогда волн. ф-ция есть y(x), a оператор импульса — дифф. оператор

Можно показать, что спектр его собств значений непрерывен, а амплитуда вероятности есть де-бройлевская волна (|р> — собств. вектор оператора импульса р^). Если задана энергия системы Н(р, х) как ф-цня координат и импульсов ч-ц, то знание коммутатора (х^, р^) достаточно для нахождения (Н^, р^), (Н^, х^), а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии Н^.

На основании определения момента кол-ва движения Mz=xpy- урх,... можно получить, что |Мx, Мy|=iћM^z. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов ч-ц; оказывается, что они достаточны для определения собств. значения квадрата полного момента: M2=Ћ2j (j+1), где квант. число j — целое или полуцелое число, и его проекции:

Mz=mћ, m=-j,-j+1,...,+j. Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах:

в виде ур-ния для вектора состояния

наз. шрёдингеровской формой ур-ния движения,

и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)

наз. гейзенберговской формой ур-ний движения (наиб. близкой классич. механике). Из (38), в частности, следует, что ср. значения физ. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эренфеста.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волн. ф-ция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в нач. момент при известном вз-ствии системы. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |y> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квант. объектом в общем случае непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханнч. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квант. объектов дополнит. степеней свободы — «скрытых параметров», учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти «скрытые параметры» неизвестны и не учитываются. Однако амер. учёный Дж. фон Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. при сохранении её осн. положения о соответствии между наблюдаемыми (физ. величинами) и операторами.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Содержание

Место К. м. среди других наук о движении
История создания К. м.
Физические основы К. м.
Корпускулярно-волновой дуализм
Принцип суперпозиции состояний
Вероятностное описание в К. м.
Математический аппарат К. м.
Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы
Основные постулаты К. м.
Представления вектора состояния
Эволюция системы во времени
Принцип соответствия и временное уравнение Шрёдингера
Среднее значение физической величины. Дисперсия.
Соотношение неопределённостей
Производная физической величины по времени
Перестановочные соотношения и классические скобки Пуассона
Симметрия гамильтониана и сохраняющиеся величины
Обратимость уравнения Шрёдингера во времени
Плотность потока вероятности
Стационарные состояния
Соотношение неопределённостей для энергии и времени
Стационарное уравнение Шрёдингера
Движение в периодическом поле
Движение в центральном поле
Квазистационарные состояния
Спин. Полный момент
Системы многих частиц. Тождественные частицы
Обменное взаимодействие. Химическая связь
Приближённые методы К. м.
Парадоксы К. м.

К. м. (волновая механика) - теория, устанавливающая способ описания и законы движения физ. систем, для к-рых величины, характеризующие систему и имеющие размерность действия, оказываются сравнимыми с постоянной Планка h. Этому условию удовлетворяет, как правило, движение микрочастиц (электронов в атоме, атомов в молекулах, нуклонов в ядрах и т. д.). Однако в нек-рых случаях специфич. квантовыми свойствами обладают макроскопич. системы как целое (см. Макроскопические квантовые эффекты).К. м. представляет собой систему понятий и адекватный ей матем. аппарат, необходимый и достаточный для описания всех наблюдаемых свойств соответствующих систем и их движения. <Законы К. м. составляют фундамент наук о строении вещества. Они позволили выяснить строение электронных оболочек атомов и расшифровать атомные и молекулярные спектры, установить природу хим. связи, объяснить периодич. систему элементов Менделеева, понять строение и свойства атомных ядер. Поскольку свойства макроскопич. тел определяются движением и взаимодействием частиц, из к-рых они состоят, законы К. м. объясняют многие макроскопич. явления, напр., температурную зависимость и величину теплоёмкости макроскопич. систем (газов, твёрдых тел). Законы К. м. лежат в основе теории строения твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников) и её многочисл. техн. приложений. Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить магн. свойства веществ и создать теорию ферромагнетизма и антиферромагнетизма. К. м. естеств. образом решила ряд проблем классич. статистич. физики, напр., обосновала теорему Нернста (см. Третье начало термодинамики),разрешила Гиббса парадокс. Важное значение имеют макроскопич. квантовые эффекты, проявляющиеся, <в частности, в таких свойствах квантовых жидкостей, как сверхтекучесть и сверхпроводимость (см. также Джозефсона эффект, Квантовый Холла эффект).На основе К. м. удалось объяснить природу белых карликов, нейтронных звезд, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. <Ряд крупнейших техн. достижений 20 в. основан по существу на специфич. явлениях К. м., не имеющих аналогов в классич. механике. Так, квантовомеханич. резонансное рассеяние частиц (обусловливающее тот факт, что эфф. сечение поглощения нейтронов может быть на неск. порядков больше геом. размеров ядер) весьма существенно для работы ядерных реакторов, а явление квантовомеханич. туннелирования (подбарьерный переход) позволяет осуществить в земных условиях термоядерные реакции (в т. ч. УТС), получать большие токи (см. Автоэлектронная эмиссия),а также использовать в техн. целях туннельные переходы в твёрдых телах (см., напр., Туннельный диод. Сканирующий туннельный микроскоп).Фундамент квантовой электроники составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., открытие законов К. м. явилось одним из важнейших факторов, приведших к совр. научно-техн. революции, а К. м. стала в значит. мере "инженерной" наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.
Место К. м. среди других наук о движении В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной (частной) теории относительности Эйнштейна (см. Относительности теория).Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин "классич. механика" будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.)Для классич. механики в целом характерно описание частиц путём задания их координат и скоростей в зависимости от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо в случае частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя как частный случай классич. механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую при малых скоростях, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квантовой теории в целом). Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) - вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей применимости количественно описать в принципе любое физ. явление. Напротив, релятивистская К. м., за исключением отд. частных задач, не может считаться замкнутой теорией, а представляет собой составную часть квантовой теории поля (со всеми присущими ей трудностями). Это связано с тем, что при взаимодействии релятивистских частиц в игру неизбежно вовлекаются полевые степени свободы. <Соотношение между классической механикой и К. м. определяется универс. мировой постоянной - постоянной Планка h~6,62.10^-27 эрг. <с (или h=h/2p~1,05.10^-27 эрг. <с), наз. также квантом действия. Если в условиях данной задачи физ. величины размерности действия значительно больше h (так что h можносчитать очень малой величиной), то применима классич. механика,- именно это условие и является критерием её применимости.
История создания К. м. В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич. электродинамики к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установленной на опыте двойственной природой света -дуализмом света (см. ниже), вторая - с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры. Установление связи между этими группами явлений и попытки их объяснения и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. м. <Впервые квантовые представления (в т. ч. величина h )были введены в 1900 М. Планком (М. Planck) в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см. Планка закон излучения).Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному выводу о невозможности термодинамич. равновесия между излучением и веществом, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определ. дискретными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии пропорциональна частоте света n и равна: e=hn. Попытки обосновать гипотезу Планка в рамках классич. физики оказались безуспешными. Несовместимость гипотезы Планка с классическими представлениями отмечалась, в частности, А. Пуанкаре (H. Poincare).От работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы А. Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций - световых квантов, названных позднее фотонами. Энергия фотона e=hn. На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света. <Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном (А. Соmрton), показавшим экспериментально, что при рассеянии рентгеновских лучей свободными электронами происходит изменение их частоты в соответствии с законами упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона (см. Комптона эффект).Кинематика столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией следует приписать импульс p=h/l=hn/c (где l - длина световой волны). Энергия и импульс фотона связаны соотношением e= ср, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися в интерференции, дифракции и поляризации) свет обладает и корпускулярными свойствами. В этом состоит дуализм света, его корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в ф-ле e=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия e характеризует частицу, а частота n является характеристикой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимобыло считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м. <В 1924 Л. де Бройль (L. de Broglie), пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором (N. Bohr) условиям квантования атомных орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом частицы р соотношением l=h/p. По этой гипотезе не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами (см. Волны де Бройля),к-рые, в частности, должны проявляться в дифракции частиц. В 1927 К. Дэвиссон (С. Davisson) и Л. Джермер (L. Germer) впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у др. частиц и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1926 Э. Шрёдингер (Е. Schrodinger) предложил ур-ние, описывающее поведение таких "волн" во внеш. силовых полях, а М. Борн (М. Born) дал им статистическую, вероятностную интерпретацию. Так возникла волновая механика. Волновое Шрёдингера уравнение является осн. ур-нием нерелятивистской К. м. В 1928 П. Дирак (Р. А. М. Dirac) сформулировал релятивистское ур-ние, описывающее движение электрона во внеш. силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных ур-ний релятивистской К. м. <Вторая линия развития (также являющаяся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости твёрдых тел. Эл.-магн. излучение, представляющее собой набор эл.-магн. волн разл. частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или, напротив, переходу в основное (невозбуждённое) состояние соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения веществом происходят квантами с энергией hn, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. дискретные уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hn. Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твёрдых тел сводится к колебаниям атомов, то и твёрдое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии должна равняться hn, где n - частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем (P. Debye), Борном и Т. Карманом (Th. Karman), сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел. <В 1913 Бор применил идею квантования энергии к планетарной модели строения атома, к-рая вытекала из результатов опытов Э. Резерфорда (Е. Rutherford, 1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряж. ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряж. электроны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату - невозможности существования стабильных атомов: согласно классич. электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время ~10^-11 с электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению электронов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы. <Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что излучение электрона в атоме подчиняется квантовым законам, т. е. происходит дискретными порциями. Он постулировал, что из всех орбит, допускаемых ньютоновой механикой для движения электрона в электрич. поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определ. условиям квантования, требующим [как показал позже А. Зоммерфельд (A. Sommerfeld)], чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h. Такие орбиты были названы стационарными. Им отвечают определ. уровни энергии. Далее Бор постулировал, что при движении по стационарным орбитам электрон не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i на другой, с меньшей энергией, E_k, и при этом рождается квант света с энергией hn=E_i-E_k. Так возникает линейчатый спектр атома. Исходя из этих постулатов, Бор получил правильную ф-лу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см. Спектральная серия).При этом числ. значение Ридберга постоянной, к-рое Бор выразил через фундам. константы т, е, h( т и е- масса и заряд электрона), оказалось в прекрасном согласии с её значением, измеренным на опыте. Размеры атома в теории Бора также выражались через фундам. константы: радиус нижней боровской орбиты а=h²/mе²~0,5.10^-8 см совпадал с эксиерим. оценками размеров атома. <Т. о., Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме. Впоследствии стало ясно, что этот вывод - одно из следствий универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Существование дискретных уровнен энергии в атомах было непосредственно установлено Франка- Герца опытами.(1913-14).Успех теории Бора, как и предыдущие успехи теории квантов, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности классич. теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой,- привлекались чуждые ей искусств. правила квантования. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение хим. связи между атомами, приводящей к образованию молекул, и др. "Полуклассич." теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение электрона в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении электрона между стационарными орбитами несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к нач. и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзенберг (W. Heisenberg) построил такую форм. схему, в к-рой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебр. величины - матрицы: связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П. Иорданом (P. Jordan). Так возникла матричная м е х а н и к а. Вскоре после появления ур-ния Шрёдингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шрёдингера) и матричной механики. <Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, выявившего важнейшую роль принципа суперпозиции состояний. Окончат. формирование К. м. как последоват. теории с ясными физ. основами произошлопосле работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и ряд др. принципиальных вопросов К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга. <Детальный анализ спектров атомов привел к представлению [введённому Дж. Уленбеком (G. Uhlenbeck) и С. Гаудсмитом (S. Goudsmit) и развитому В. Паули (W. Pauli)] о том, что электрону кроме заряда и массы должна быть приписана ещё одна внутр. характеристика - спин.[Ранее представление о внутр. моменте электрона развивалось Р. Кронигом (R. Kronig), но его работа не была опубликована.] Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атомов, молекул, ядер, твёрдых тел. <В течение короткого времени К. м. была с успехом применена для описания широкого круга явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, хим. связи, периодич. системы элементов, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Дальнейшее принципиальное развитие квантовой теории связано гл. обр. с релятивистской К. м. Нерелятивистская К. м. развивалась в осн. в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, твёрдых тел, а также совершенствования матем. аппарата и разработки количеств. методов решения разл. задач. Вместе с тем не прекращалась разработка и принципиальных проблем К. м.- альтернативных схем её интерпретации (в т. ч. с помощью скрытых параметров),теории измерений ( квантовые неразрушающие измерения )и т. д., продолжали возникать и новые разделы и методы К. м.- теория движения в нерегулярном поле ( андерсоновская локализация),теория комплексного углового момента (Редже полюсов метод),суперсимметричная К. м. (см. Суперсимметрия )идр. Р. Фейнманом (R. Feynman) была предложена новая формулировка К. м. в виде т. н. интегралов по траекториям (см. Функционального интеграла метод).
Физические основы К. м. Корпускулярно-волновой дуализм. Физ. основой К. м. является корпускулярно-волновой дуализм - всеобщее и универс. свойство материи, согласно к-рому не только любой волне с частотой w и волновым вектором k отвечает частица с энергией Eи импульсом р, соответственно равными:

E = hw, p=hk,(1)

но и, обратно, с любой частицей, обладающей энергией Eи импульсом р, связана волна, частота и волновой вектор к-рой определяются соотношениями (1). Наличие у частиц волновых свойств доказано в огромном числе экспериментов. Интерференция и дифракция наблюдались для электронов, нейтронов, атомных ядер, атомов, молекул. Волновые свойства нейтронов лежат в основе нейтронной оптики (имеющей, в частности, прикладное значение) и широко используются при изучении структуры вещества (см. Нейтронография).Т. <о., теория движения микрочастиц с необходимостью обязана учитывать наличие у них волновых свойств. Это с неизбежностью ведёт к отказу от нек-рых классич. представлений, сформировавшихся в результате наблюдения движения макроскопич. тел. В частности, наблюдение волновых явлений несовместимо с представлением о движении частицы по определённой классич. траектории. <В качестве примера рассмотрим дифракцию света на двух щелях (рис. 1). Если характерные размеры в рассматриваемой задаче соизмеримы с длиной волны света (а источник S можно считать точечным), то на экране Э будут наблюдаться интерференц. полосы. <При корпускулярной интерпретации данного результата это означает, что в точку М, отвечающую минимуму интерференции, фотоны не попадают. С точки зрения классич. представлений движения частиц по траекториям, фотоны не должны попадать в точку М ни по пути SaM, ни по пути SbM. Это, однако, противоречит след. опыту: закрывая щель b, можно наблюдать нек-рую освещённость в точке М, что указывает на возможность распространения фотонов по пути SaM. Аналогично, закрывая щель а, можно убедиться, что фотоны могут распространяться и по пути SbM.

Исходя изклассич. представлений о движении частиц, нельзя объяснить, почему фотоны, способные попадать в точку М как по пути SaM, так и по SbM в отдельности, не попадают в неё, когда оказывается возможным движение по обоим путям сразу. [Представление о том, что между фотонами, движущимися по разным путям, существует взаимодействие, обусловливающее интерференц. явления, опровергается опытом, из к-рого следует, что картина интерференции не зависит от интенсивности источника S. Более того, если вместо экрана использовать, напр., фотоэмульсию, накапливающую эффект, то при достаточно большой экспозиции интерференция будет наблюдаться при столь малой интенсивности источника, когда от него летят практически единичные фотоны. Образно говоря, каждый фотон интерферирует сам с собой, что и даёт в результате интерференц. картину (хотя попадание каждого отд. фотона на фотоэмульсию - случайно).] Причиной возникшего парадокса является предположение о том, что каждый фотон движется по вполне определ. траектории. Это предположение представляет собой необоснованное распространение понятия траектории (возникшего в результате наблюдения движения макроскопич. тел) на движение фотона, для к-рого оно не имеет места. Напротив, наблюдение интерференц. явлений [для осуществления к-рых необходимо по крайней мере два возможных пути движения фотонов (или к.-л. др. частиц)] указывает на то, что в этом случае нельзя считать, что частица движется по определ. траектории. Существенно, что соотношения (1), согласно к-рым с волной может быть сопоставлена частица, определяют лишь энергию и импульс этой частицы, не требуя её движения по к.-л. определ. траектории.
Принцип суперпозиции состояний. Для того чтобы устранить противоречие между корпускулярным и волновым описанием явлений (существующее в рамках классич. представлений о частицах как матер. точках, движущихся по определ. траекториям), оказывается необходимым спец. постулат - т. н. принцип суперпозиции состояний. Этот принцип позволяет описать волновые явления в терминах корпускулярных представлений ценой отказа от нек-рых классич. понятий, взятых из макроскопич. опытов и неприменимых к микропроцессам в квантовой области. Тем самым принцип суперпозиции состояний лежит в основе физ. содержания К. м. и определяет её матем. аппарат. К необходимости указанного принципа и его формулировке можно прийти, рассматривая конкретные примеры волновых процессов и попытку их интерпретации в терминах корпускулярных представлений. Рассмотрим 2 таких примера.1. Отражение и преломление волн. Пусть волна y₀=A₀ ехр(-iwt+ilk₀r )падает на границу двух сред, в результате чего возникает отражённая [y₁=A₁ ехр(-iwt+ik₁r)] и преломлённая [y₂=A₂ ехр(- iwt+ik₂r)] волны (рис. 2) (w - частота волны, k,-соответствующие волновые векторы, А -амплитуды). Используя граничные условия, волновая теория позволяет определить отношения А₁/ А₀ и А₂/ А₀ и , следовательно, найти коэф. отражения R=|А₁/ А₀|² и преломления D(R+D = 1) (см., напр., Френеля формулы; для простоты используется лишь одна компонента волны).

Рассмотрим это явление с корпускулярной точки зрения. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, падающей волне отвечают частицы с импульсом p₀=hk₀, а отражённой и преломлённой волнам - частицы с импульсами p₁=hk₁ и р₂=hk₂. Поскольку частота волн при отражении и преломлении не меняется, частицы в каждойиз волн имеют одинаковую энергию: E₀=E₁=E₂=hw. В мысленном (и в принципе осуществимом) эксперименте, когда на границу двух сред падает одна частица, возникает вопрос, в какой из волн - отражённой или преломлённой - она окажется. Специфика корпускулярного описания (в отличие от волнового описания, позволяющего падающей волне разделиться на две) не допускает разделения одной падающей частицы на две, т. к. в противном случае при одинаковых энергиях частиц не выполнялся бы, напр., закон сохранения энергии. Поэтому приходится считать, что частица оказывается случайным образом либо в отражённой, либо в преломлённой волне. Т. о., корпускулярное описание процесса требует прежде всего отказа от полностью детерминированного описания движения отд. частицы и вследствие этого предположения о том, что законы движения могут предсказывать лишь вероятности, с к-рыми частица отразится от границы раздела двух сред или пройдёт через неё.Обозначим символом |Х> состояние частицы, возникающее в результате взаимодействия падающей частицы с границей двух сред, а символами |p₁> и | р₂> - состояния частицы, отвечающие отражённой и преломлённой волнам (с единичными амплитудами). Поскольку в состоянии |Х > существует вероятность обнаружить частицу как в отражённой, так и в преломлённой волне, описание процесса в терминах корпускулярных представлений может быть получено, если предположить, что состояние |Х > является суперпозицией состояний |p₁> и |p₂>:

Х> = с₁|p₁>+ с₂|p₂>, (2)

причём квадраты коэф. |c₁|² и | с₂|² пропорциональны вероятностям обнаружить частицу в соответствующих состояниях. Соотношение (2) по виду полностью аналогично суперпозиции отражённой и преломлённой волн на границе двух сред. Однако по своему смыслу суперпозиция состояний (2) принципиально отличается от суперпозиции к.-л. полей или волн. В то время как суперпозиция двух колебаний (напр., в упругой волне) имеет наглядный смысл и соответствует реальному сложению двух возможных колебаний, суперпозиция состояний (2) содержит альтернативные состояния одной и той же частицы |p₁> и |p₂>, т. е. допускает возможность того, что частица одновременно находится в двух альтернативных (по отношению к выбранному способу регистрации) состояниях. Это является отказом от наглядных классич. представлений о частицах как матер. точках, движущихся по определ. траекториям. Необходимость такого отказа диктуется корпускулярно-волновым дуализмом, к-рый следует принять как надёжно установленное на опыте первичное свойство материи. При этом только вероятностная интерпретация суперпозиции двух альтернативных состояний (2) позволяет избежать логич. противоречия, т. к., согласно этой интерпретации, в каждом отд. эксперименте частица с определ. вероятностьюможет быть обнаружена лишь в одном из этих состояний. Возможность нахождения частицы одновременно в разных состояниях реализуется только при повторных измерениях в ансамбле тождественно "приготовленных" состояний частицы. Разумеется, если система состоит из большого числа независимых тождеств. частиц (как, напр., монохроматич. световая волна, состоящая из большого числа одинаковых фотонов), измерение сразу даёт распределение частицы по возможным состояниям в соответствии с вероятностями обнаружить её в этих состояниях. <Аналогия (2) с суперпозицией волн может быть распространена далее. Между преломлённой и отражённой волнами существует разность фаз, определяемая условиями на границе двух сред. Она является наблюдаемой величиной и может быть измерена, если посредством к.-л. устройства осуществить интерференцию этих волн (или их интерференцию с падающей волной). Для того чтобы при корпускулярном описании сохранились фазовые соотношения между соответствующими волнами, необходимо в качестве коэф. c₁, c₂ в соотношении (2) использовать комплексные числа и считать, что физ. смысл имеет разность фаз этих комплексных чисел. Т. о., для полного описания волнового явления на корпускулярном языке необходимо приписать физ. смысл не только вероятностям |c₁|², | с₂|², но и самим коэф. с₁ с₂ - т. н. амплитудам вероятности - с точностью до общей фазы. При этом для измерения разности фаз амплитуд необходимы интерференц. опыты.2. Поляризационные явления (суперпозиция состояний, отличающихся значениями внутр. характеристики частиц). Поляризация представляет собой чисто волновое свойство, поскольку она определяется направлением колебаний в волне. Тем не менее частицам, соответствующим волне с определ. поляризацией, можно приписать дополнит. (внутр.) степень свободы, принимающую разл. значения для разных состояний поляризации. Для определённости рассмотрим фотоны, отвечающие световой волне. Опыт показывает, что угл. распределение электронов в фотоэффекте зависит от направления поляризации световой волны. А т. к. фотоэффект является чисто корпускулярным эффектом, то это означает, что фотон обладает дополнит. <степенью свободы, связанной с поляризацией световой волны, к-рой он соответствует.

Не рассматривая физ. смысла этой дополнит. степени свободы (связанной со спином фотона), можно убедиться, что она формально удовлетворяет всем требованиям, к-рые можно предъявить к наблюдаемой (физ.) величине (см. Наблюдаемая),а именно: а) у фотона существуют состояния, в к-рых указанная величина с достоверностью принимает вполне определ. (собственные) значения; б) результатом измерения этой величины в произвольном состоянии фотона всегда является одно из её собств. значений. Пусть устройство П (поляризатор) пропускает эл.-магн. волну с поляризацией, параллельной оси у или оси х (рис. 3, а; 3, б; двойными стрелками обозначены направления поляризации). Обозначим состояния фотона, прошедшего поляризатор в положении 3, а и 3, б, соответственно символами | р,#> и | р, ">,где р - импульс фотона, а направление стрелок отвечает поляризации волны вдоль осей у и х. Оба эти состояния являются собств. состояниями рассматриваемой внутр. переменной фотона, поскольку устройство А (анализатор), пропускающее (без поглощения) волну с поляризацией вдоль оси у, с достоверностью пропустит каждый одиночный фотон, "приготовленный" поляризатором в состоянии | р, #> (рис. 3, а), и поглотит каждый фотон в состоянии | р, ">. Рассмотрим теперь фотон, "приготовленный" поляризатором, пропускающим световую волну с поляризацией под углом a к оси у; соответствующее состояние обозначим символом | р, &> (рис. 3, в). Пройдёт ли этот фотон анализатор А или будет в нём поглощён, с достоверностью предсказать нельзя. Т. о., в этом случае (как и в предыдущем примере) необходимо отказаться от полностью детерминированного описания движения каждого отд. фотона. Вместе с тем следует считать (имея в виду прохождение световой волны, содержащей большое число фотонов), что для отд. фотона существуют вполне определ. вероятности прохождения и поглощения в анализаторе. Адекватное этому матем. описание основывается на предположении, что состояние | р, &> является линейной суперпозицией состояний | р, #> и | р, ">:

| р, &> = с₁| р, #> + с₂| р, ">, (3)

причём вероятности обнаружить фотон в состояниях | р, #> и | р, "> равны |c₁|² и | с₂|². (Согласно волновому описанию, |c₁|² = cos²a, |c₂|² = sin²a.) Для линейно поляризованной под углом a к оси у световой волны разность фаз в волнах, поляризованных вдоль оси у и перпендикулярно к ней, равна нулю. Соответственно коэф. c₁, с₂ в (2) можно рассматривать как действит. числа [точнее, Im(c₁/c₂) = 0]. В более общем случае эллиптически поляризованной световой волны состояние отвечающего ей фотона может быть описано суперпозицией (3) с комплексными коэф., разность фаз к-рых соответствует разности фаз колебаний вдоль осей х и у. Для измерения этой разности фаз необходимо, помимо анализатора, использовать спец. устройства (напр., пластинку в четверть длины волны). Т. о., как и в предыдущем примере, физ. смысл имеют амплитуды вероятности c₁, с₂ (а не только вероятности | с₁|², | с₂|²), причём в общем случае они должны быть комплексными числами, разность фаз к-рых равна разности фаз соответствующих волн. <На основе рассмотренных (и мн. др.) примеров можно прийти к заключению, что для описания волновых явлений в терминах корпускулярных представлений необходимо принять в качестве постулата след. принцип: если система может находиться в состояниях |f₁>, |f₂>, . . ., |f_n>, в к-рых физ. величина f принимает с достоверностью соответственно значения f₁, f₂, . . ., f_n, то система может находиться и в состоянии |X>, являющемся линейной суперпозицией состояний | f_i>:

при этом вероятность обнаружить систему в состоянии |f_i> (т. е. получить в результате измерения физ. величины её значение f_i) равна | с _i |².Принцип суперпозиции состояний тривиально обобщается на бесконечное (счётное или континуальное) множество состояний.
Вероятностное описание в К. м. Отказ от полностью детерминированного описания движения отд. частицы и переход к вероятностному описанию, адекватному принципу суперпозиции состояний, позволяет совместить волновые и корпускулярные свойства материи. Вероятностное описание, т. о., отвечает фундам. свойствам движения микрообъектов и не связано с к.-л. неполнотой сведений о них. Подчеркнём, однако, что в его основе лежит чуждое классич. теории вероятностей понятие амплитуды вероятности, т. е. комплексного числа, <у к-рого физ. смысл имеет не только квадрат модуля (равный вероятности), но и фаза (точнее, разность фаз двух амплитуд, соответствующая разности фаз волн). Именно использование амплитуд вероятности позволяет отразить волновые свойства объектов при их корпускулярном описании.
Математический аппарат К. м. Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы. Принцип суперпозиции состояний диктует выбор матем. аппарата К. м. Первым осн. понятием К. м. является квантовое состояние. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэф., является также возможным состоянием системы. Т. о., состояния системы образуют линейное векторное пространство. Тем самым принцип суперпозиции состояний вскрывает матем. природу квантового состояния. Он указывает на то, что состояние системы должно описываться нек-рым вектором- вектором состояния, являющимся элементом линейного пространства состояний. Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается, по Дираку, символом |y>. Если система находится в состоянии, в к-ром физ. величина f имеет определ. (собств.) значение f_i, вектор состояния системы удобно обозначать символом |f_i>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |y> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |y> с любым др. вектором состояния |y'>; оно обозначается как <y'|y> и является комплексным числом, причём

<y'|y> = <y|y'>*. (5)

Скалярное произведение вектора |y> с самим собой, <y|y>,- положит. число; оно определяет длину, или норму, вектора. Норму вектора состояния удобно выбрать равной единице; его фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний. <Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |y> к др. вектору |y'>. Символически эту операцию можно записать как результат действия на |y> нек-рого оператора

При этом |y'> может отличаться от |y> длиной и направлением. В силу принципа суперпозиции состояний в К. м. особое значение имеют линейные операторы, в результате воздействия к-рых на суперпозицию произвольных векторов |y₁> и |y₂> получается, по определению, суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора играют такие векторы |y> = |y_l>, для к-рых |y'> совпадает по направлению с |y>, т. е.

где l- число. Векторы |y_l> наз. собственными векторами оператора а числа l - его собственными значениями. Собств. векторы |y_l> принято обозначать просто |l>, т. <е. |y_l>=|l>. Собств. значения l образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный, или сплошной, спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный (смешанный спектр).Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы, собств. значенияк-рых вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е. <l|l'>=0. Из них можно построить ортогональный базис в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу: <l|l> = 1. Произвольный вектор |y> можно разложить по этому базису:

При этом

и если вектор |y> нормирован на единицу, то

Знак суммы в этих ф-лах означает суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру значений l. В последнем случае собств. векторы предполагаются нормированными на d-функцию:

<l|l'> = d(l -l'). (11)

Любой линейный оператор в выбранном базисе |l> может быть представлен матрицей:

Если - эрмитов оператор, то (Для |l_j>, являющихся собств. векторами оператора , матрица диагональна.) Если сопоставлятьс произвольным вектором |y> столбец из его коэффициентов в выбранном базисе (9), то действие оператора на |y>, сводится к матричному умножению:

где столбец отвечает координатам вектора |y'>в том же базисе:

Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определ. (единств.) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физ.) величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, наз. собственными состояниями этой величины. <Т. к. в результате измерений физ. величины f в любом произвольном состоянии системы |y> должно получаться одно из собств. значений измеряемой величины f_i, то |y> должно быть представимо в виде линейной комбинации собств. состояний этой физ. величины:

Т. о., совокупность собств. состояний физ. величины должна составлять (аналогично совокупности собств. векторов линейного эрмитова оператора) полный базис. <Амплитуды вероятности с _i представляют собой координаты вектора состояния |y> в выбранном базисе (для простоты ограничимся системой с одной степенью свободы). Задание с _i полностью определяет вектор состояния системы. Совокупность коэф. с _i наз. волновой функцией состояния в представлении величины f. Согласно вероятностной трактовке принципа суперпозиции состояний, сумма должна бытьравна единице, т. е. вектор состояния должен иметь конечную (приводимую к единице) норму. Между собств. состояниями физ. величины и собств. векторами линейного эрмитова оператора можно заметить аналогию: во-первых, каждое из них отвечает определ. числу (собств. значению физ. величины или собств. значению оператора), и, во-вторых, произвольный вектор линейного пространства должен быть представим в виде линейных комбинаций собств. векторов [ср. (14) и (9)]. Эта аналогия указывает на то, что физ. величине следует поставить в соответствие линейный эрмитов оператор, действующий в пространстве векторов состояния. На основании приведённых физ. соображений формулируются след. постулаты К. м.
Основные постулаты К. м. I. Состояние системы полностью описывается вектором состояния, к-рый должен быть однозначным (с точностью до произвольной фазы) и иметь конечную норму. <Полнота описания подразумевает, что задание вектора состояния в к.-л. определ. момент времени позволяет найти вектор состояния в любой др. момент времени и указать вероятности результатов измерения всех физ. величин в заданном состоянии системы. Полное в указанном смысле описание квантовомеханич. системы (с помощью вектора состояния) оказывается невозможным в случае, когда рассматриваемая система является подсистемой нек-рой большей системы и существенно взаимодействует с её остальными частями. В этом случае система не обладает определ. вектором состояния, и её описание производится с помощью матрицы плотности. Состояния, описываемые вектором состояния, наз. чистыми состояниями, в отличие от смешанных состояний, описываемых матрицей плотности. Описание с помощью матрицы плотности является наиб. общей формой квантовомеханич. описания. Оно лежит в основе квантовой статистики.II. Каждой физ. величине соответствует линейный эрмитов оператор, собств. значения к-рого являются возможными значениями физ. величины, а собств. векторы - её собств. состояниями, отвечающими выбранному собств. значению. <Конкретный вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ. величинам, как импульс, угловой (орбитальный) момент, энергия, постулируется исходя из соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе h " 0 рассматриваемые физ. величины принимали "классич." значения, и согласуется с общими принципами определения этих величин на основе законов сохранения (см. ниже). Вместе с тем в К. м. существуют такие линейные эрмитовы операторы [напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат ( пространственной инверсии), перестановке одинаковых частиц и др.], к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов, напр., чётность (см. Операторы).III. В разложении (14) произвольного вектора состояния системы по ортонормированной системе собств. векторов |f_i> физ. величины f значения | с|²=|<f_i|y>|² равны вероятностям обнаружить систему в состояниях |f_i>, т. е. вероятностям того, что при измерении f её значение окажется равным f_i.В случае, когда величина f имеет непрерывный спектр, а собств. состояния нормированы условием:

<f|f'> = d (f-f'), (15)

выражение |c_f|²=|<f|y>|² представляет собой плотность вероятности, т. е. <вероятность dw_{f, f+df} обнаружить величину f в интервале (f, f+df) равна:dw_{f, f+df} = |c_f|²df. (16) Условие (15) формально противоречит постулату I, т. к. вектор состояния |f>, принадлежащий непрерывному спектру, имеет бесконечную норму. Это связано с тем, что "монохроматич." состояние |f>, выделенное из непрерывного спектра, является матем. идеализацией. Подобной идеализацией является, напр., монохроматич. плоская эл.-магн. волна, к-рая должна была бы заполнять всё пространство и иметь поэтому бесконечную энергию. В действительности, любая физ. величина, принимающая непрерывные значения, может быть определена лишь с нек-рой точностью - в нек-ром интервале Df, зависящем от точности прибора. Вектор состояния, отвечающий такому определению, представляет собой волновой пакет, составленный из монохроматич. состояний f в интервале Df и имеющий конечную норму. Т. о., для физ. векторов состояния противоречия с постулатом I нет. Учитывая, однако, матем. преимущества использования монохроматич. состояний для описания непрерывного спектра, производится форм. расширение допустимого постулатом I класса векторов состояний путём включения в него нек-рых собств. векторов с бесконечной нормой (при условии, что из них может быть составлен волновой пакет с конечной нормой).Постулат, определяющий зависимость вектора состояния от времени, будет сформулирован ниже [см. (29)].
Представления вектора состояния. Состояние системы определяется заданием нек-рой совокупности физ. величин, характеризующих систему,- т. н. полного набора. Число физ. величин, составляющих полный набор, равно числу степеней свободы системы (включая возможные внутр. степени свободы). Естественно, что физ. величины, входящие в полный набор, должны быть одновременно измеримыми, способными принимать одновременно определ. значения. Это свидетельствует о том, что соответствующие данным величинам операторы должны иметь общие собств. векторы. Необходимым и достаточным условием этого является коммутативность (переставимость) соответствующих операторов. Т. о., для физ. величин F, G, . . ., H, составляющих полный набор, должны выполняться условия коммутации:

Общий собств. вектор этих величин удобно обозначать индексами их собств. значений: |F_i, G_k, . . ., H_l>. Любой вектор состояния системы |y> может быть представлен в виде:

где x - совокупность собств. значений величин, входящих в выбранный полный набор, а совокупность координат а(x) вектора состоянии - волновая ф-ция системы в представлении, использующем в качестве базиса собств. векторы этого полного набора. Задание волновой ф-ции в к.-л. представлении полностью определяет вектор состояния системы и, в частности, её волновую ф-цию в любом др. представлении. Если h - совокупность собств. значений величин, составляющих др. полный набор (отличный от x), то волновая ф-ция b(h)в этом представлении

выражается через волновую ф-цию а(x), и, наоборот, a(x) может быть выражена через b(h):

Как отмечалось, для непрерывного спектра собств. значений символы суммы в этих ф-лах означают интегрирование.) Если в качестве измеряемых величин взять координаты частиц, то волновая ф-ция системы будет задана в т. н. конфигурационном представлении. В частности, для одной частицы волновая ф-ция y(r) представляет собой коэф. разложения вектора состояния |y> по собств. векторам |r> операторов координаты r , y(r) = <r|y>. В этом случае |y(r)|² определяет вероятность dw обнаружить частицу в бесконечно малом объёме dV вокруг точки r: dw=|y(r)|²dV. В ряде задач оказывается полезным импульсное представление, в к-ром в качестве полного набора используются операторы проекций импульса частицы
Эволюция системы во времени Полнота описания системы, согласно постулату I, подразумевает, что задание вектора состояния в к.-л. момент времени t₀, |y(t₀)>, позволяет найти вектор состояния |y(t)> в любой последующий момент времени t. Т. о., имеется соответствие |y(t₀)> " |y(t)>, т. е. должен существовать оператор (оператор эволюции) такой, что

Сохранение нормы вектора состояния (сохранение полной вероятности) требует, чтобы был унитарным оператором: (где эрмитово сопряжён ). Рассматривая эволюцию за бесконечно малое время dt, можно представить оператор [с точностью до dt²] ввиде

(использовано, что Условие унитарности приводит в этом случае к условию , к-рое будет выполняться, если , где - нек-рый эрмитов оператор. Полагая и используя разложение , можно получить ур-ние:

к-рому в соответствии с постулатом I должен подчиняться вектор состояния системы. Для того чтобы установить, какой физ. величине соответствует , необходим дополнительный физический принцип - принцип соответствия.
Принцип соответствия и временное уравнение Шрёдингера Естественно потребовать, чтобы в пределе, когда де-бройлевская длина волны частицы значительно меньше размеров, характерных для данной задачи (в частности, для макроскопических тел), законы К. м. переходили бы в законы движения классической механики, отвечающие движению частиц (тел) по классическим траекториям, а действия квантовомеханических операторов на векторы состояния сводились бы к умножению их на соответствующие классические величины. Эти требования составляют содержание принципа соответствия в К. м. Аналогичный предельный переход при дл. волны l " 0 от законов волновой оптики к законам геом. оптики хорошо известен. С др. стороны, существует тесная аналогия между классич. механикой и геом. оптикой. Лучи света в геом. оптике можно сопоставить с траекториями частиц; при этом закон распространения лучей между двумя точками определяется Ферма принципом, аналогичным наименьшего действия принципу для движения частиц. Предельному переходу от волновой оптики к геометрическойотвечает определённое поведение волновых полей, к-рые могут быть представлены в виде

u = aexp(ij). (24)

При длине волны l " 0 фаза j(r, t )(наз. эйконалом )очень быстро меняется с расстоянием, и её изменение на характерных размерах L>>l велико. Волновой вектор и частота волны определяются производными эйконала:

k = nj, w= -дj/ дt. (25)

Согласно принципу Ферма, лучи света между двумя точками распространяются по траекториям, соответствующим миним. изменению эйконала.

Исходя из отмеченных аналогий (рис. 4), можно ожидать, что волновая ф-ция частицы в конфигурац. представлении в предельном случае l " 0 должна иметь вид

где S - действие, а h выступает как обезразмеривающий множитель в экспоненте. В классич. пределе S/h>>1, и траектория частицы между двумя точками определяется минимумом S. Обобщённый импульс P и ф-ция Гамильтона H частицы при этом равны:

P=nS, H = - дS/дt. (27)

Ф-лы (25)-(27) при j=S/hсоответствуют гипотезе де Бройля. Используя (27) и дифференцируя ф-цию (26) по времени, получаем выражение:

ih( дy/ дt) = Hy.(28)

Сравнивая (28) с общей зависимостью вектора состояния от времени (23), можно на основании принципа соответствия заключить, что оператор отвечает ф-ции Гамильтона, делённой на h. Обобщая полученный результат на произвольные системы, принимают в виде специального постулата:IV -эволюция вектора состояния описывается временным уравнением Шрёдингера,

где - гамильтониан системы. <Аналогично, дифференцируя (26) по координатам, имеем:

-ihny=Py.(30)

Обобщая этот результат (с учётом принципа соответствия), принимают в качестве постулата выражение для оператора обобщённого импульса в конфигурац. пространстве:

Ввиду непрерывного (континуального) характера конфигурац. пространства матрица оператора импульса представляет собой обобщённую функцию. Для одномерного случая, напр., она выражается через производную d-функции:

P_x, x' = - ih(d/dx)d(x-x'). (32)

Действие оператора координаты частицы в конфигурац. пространстве сводится к умножению волновой ф-ции на координату. <В конфигурац. представлении гамильтониан получается заменой обобщённых импульсов ф-ции Гамильтона соответствующими операторами. Так, для частицы с массой т в потенц. поле гамильтониан имеет вид:

где V (х, у, z) - потенц. энергия частицы в этом поле, а для частицы с зарядом е вэл.-магн. поле, описываемом скалярным j и векторным А потенциалами:

(Существенно, что оператор - ihnотвечает именно обобщённому импульсу P частицы в эл.-магн. поле, к-рый в классич. механике имеет вид: P=mv+(e/c)A. )С помощью постулатов I-IV может быть полностью построена матем. схема К. м. [Для описания систем из одинаковых частиц необходим дополнит. постулат (см. ниже)]. Спец. исследования показали, что система постулатов К. м. полна и непротиворечива. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.
Среднее значение физической величины. Дисперсия Согласно постулату III, вероятность получить в результате измерения физ. величины f её собств. значение f_i равна | с _i|², где с _i являются коэф. разложения вектора состояния системы |y> по собств. состояниям измеряемой величины. Поэтому ср. значение физ. величины f в данном состоянии системы равно:

Используя условие и разложение (14), имеем:

Если вектор состояния задан в базисе |g_i>, отличном от собств. векторов измеряемой величины, т. е. |y>= , то матрица оператора недиагональна и (36)принимает вид

соответствующий матричному произведению в (36):

В случае, когда система находится в собств. состоянии измеряемой величины, ср. значение совпадает с её собств. значением в этом состоянии. В общем случаe существует разброс возможных значений измеряемой величины от ср. значения, характеризуемый дисперсией (ср. квадратичным отклонением):

Соотношение неопределённостей Если операторы двух физ. величин f, g не коммутируют, эти величины не могут быть точно измереныодновременно. В любом состоянии системы между дисперсиями этих величин существует соотношение неопределённостей (СН):

где - коммутатор операторов . Поскольку коммутатор физ. величин в классич. пределе должен обращаться в нуль, величина его пропорциональна h. Поэтому правая часть соотношения (39) пропорциональна h². В частности, для оператора компоненты импульса и соответствующей координаты

и СН для этих величин имеет вид:

Оно означает, что для состояния, в к-ром частица локализована в области пространства Dx (рис. 5, а),

возможный разброс значении её импульса (около его ср. значения) заключён в области Dp_x (рис. 5, б),определяемой соотношением

Dp_x.Dx~h. (42)

Т. о., монохроматич. волна с определ. импульсом (Dp_x " 0) должна заполнять всё пространство (Dx " :). Соотношение (39) может быть уточнено путём использования новой характеристики - корреляции величин f, g. Если определить коэф. корреляции r:

то для состояний, в к-рых r№0(39), принимает вид:

Состояния системы, минимизирующие СН (т. е. отвечающие знаку равенства), наз. когерентными состояниями. СН играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с СН. Важный пример - проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e²/r², где е - заряд электрона, а центростремит. ускорение равно v²/r. По второму закону Ньютона, тv²/r=е ²/r²( т - масса электрона), т. е. радиус орбиты r=e²/mv² может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться СН. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости - в пределах v, т. е. неопределённость импульса в пределах Dp = mv, то (41) можно представить в виде: mvr/h. Отсюда можно получить v[e²/n и r/h²/те ². Следовательно, движение электрона по орбитес r[ а _Б=h²/те ²~0,5.10^-8 см невозможно, т. е. электрон не может упасть на ядро - атом устойчив. Величина a _Б и является радиусом атома водорода (боровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀=- е²/2a _Б~-13,6эВ, определяющая его минимальную энергию - энергию основного состояния. <Т. о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные h, т, е. Указанные соображения позволяют понять устойчивость др. систем и оценить их характерные энергии. Действительно, из СН следует, что для частицы с массой т, совершающей движение в области с линейными размерами ~r₀, ср. кинетич. энергия будет Применяя эту оценку к нуклонам в ядре [m~l,6.10^-24 г, r₀~(10^-13-10^-12 )см], получаем характерные энергии порядка (1-10) МэВ. В то же время для вращат. уровней молекулы водорода (r₀~10^-8 см) она даёт оценку 10^-2 эВ. <Для некоммутирующих величин СН являются частным случаем общего дополнительности принципа Бора. <СН для энергии и времени требует особого рассмотрения (см. ниже).
Производная физической величины по времени Ср. значение физ. величины является, вообще говоря, ф-цией времени. Это определяется зависимостью от времени вектора состояния |y>, рассматриваемого в (36) в Шрёдингера представлении. (Помимо этого возможна явная зависимость оператора от времени.) Производная ср. значения по времени является ср. значением нек-рого оператора, к-рый, по определению, наз. производной физ. величины по времени:
где

С др. стороны, если использовать ф-лу (21), то зависимость в (36) от времени может быть перенесена с векторов состояния на операторы :


Это соответствует Гейзенберга представлению. Используя ур-ние , к-рому подчиняется оператор эволюции, можно получить для производной выражение, по форме аналогичное (44), но имеющее др. смысл, т. к. оно относится непосредственно к производной физ. величины, представленной её гейзенберговым оператором:

Можно использовать также взаимодействия представление, являющееся в нек-ром смысле промежуточным между представлениями Шрёдингера и Гейзенберга. <Из (44) и (46) следует, в частности, что ср. значения физ. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. Эренфеста теоремой. В соответствии с ним центр волнового пакета в предельном случае малых длин волн будет двигаться по классич. траектории.
Перестановочные соотношения и классические скобки Пуассона Выражения (44) и (46) можно сопоставить с полной производной по времени ф-ции f(t, . .., q_i, . . ., р _i), зависящей явно от времени и от обобщённых классич. координат и импульсов системы, подчиняющихся Гамильтона уравнениям:

где { Н, f} _кл - классич. скобка Пуассона:

Сравнение (44) с (47) указывает на то, что коммутатору можно сопоставить классич. скобку Пуассона, умноженную на -ih:

Обобщая (49) на произвольные величины f, g, можно рассматривать это соотношение как особую формулировку принципа соответствия: коммутатор операторов двух физ. величин в предельном случае, когда действие для системы S>>h, переходит с коэф. -ihв величину, равную классич. скобке Пуассона для этих величин,

Если физ. величине С, определяемой равенством С={f, g} _кл, отвечает оператор то обобщением (50) является соотношение

Соотношения коммутации (51) дают все известные перестановочные соотношения для механич. величин (координат, компонент импульса и момента). В представлении Гейзенберга они вместе с ур-нием (46) полностью описывают поведение физ. системы.
Симметрия гамильтониана и сохраняющиеся величины Если оператор физ. величины не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом, то, согласно (44), её ср. значение не меняется со временем, а отвечающий ей гейзенбергов оператор не зависит от времени. В частности, если в нач. момент времени такая физ. величина принимала к.-л. своё собств. значение, то с течением времени система не выйдет из соответствующего собств. состояния. Существование таких сохраняющихся величин тесно связано с симметрией гамильтониана. Пусть гамильтониан системы не меняется при нек-ром преобразовании системы, к-рое осуществляется с помощью оператора , действующего на векторы состояния. Тогда из равенства , где - гамильтониан, действующий на преобразованные векторы состояния системы, следует: . Вследствие сохранения нормы вектора состояния при преобразованиях симметрии оператор должен быть унитарен. Для преобразований симметрии, характеризуемых непрерывным изменением к.-л. параметра l(такими являются, напр., сдвиги или повороты системы), унитарный оператор при бесконечно малом изменении параметра dlимеет вид:

где - эрмитов оператор, и предполагается, что l=0 отвечает тождеств. преобразованию. Условие сводится к коммутации с гамильтонианом оператора , , и, следовательно, к сохранению физ. величины, к-рой он может соответствовать. Для операции сдвига системы на бесконечно малый вектор d а волноваяф-ция системы частиц в конфигурац. пространстве преобразуется по закону

(r_i- координаты i -й частицы). Т. о., оператор бесконечно малого сдвига имеет вид:
где
- оператор полного импульса системы частиц. Если рассматриваемая система замкнута, а потенциалы взаимодействия между частицами зависят лишь от расстояния между ними, то её гамильтониан не меняется при сдвиге, и, следовательно, компоненты импульса, коммутируя с гамильтонианом, согласно (52), (53), сохраняются. Это находится в полном соответствии с законом сохранения импульса в классич. механике. При операции пространств. поворота на бесконечно малый угол dj вокруг оси, направление к-рой задаётся единичным вектором n, координаты частиц системы преобразуются по закону:r_i " r_i + dr_i, dr_i=[dj r_i], dj=ndj, и оператор поворота имеет вид:

где - оператор полного орбит. момента системы:

Для замкнутой системы частиц, взаимодействующих по центр. закону, гамильтониан не меняется при поворотах, и поэтому компоненты момента, коммутируя с гамильтонианом, должны сохраняться. То же относится к компонентам момента отд. частицы, находящейся в центр. поле. <Если гамильтониан системы не меняется лишь при сдвиге вдоль к.-л. одного направления или поворота вокруг к.-л. одной определ. оси, то будут сохраняться соответственно проекция импульса на это направление или проекция момента на выделенную ось. <Законы сохранения возникают не только для непрерывных симметрии гамильтониана. Так, для частицы, находящейся в периодич. поле, что является хорошей моделью движения электрона в кристалле, гамильтониан не меняется при сдвигах на векторы, кратные периодам решетки, и коммутирует с операторами соответствующих сдвигов. Это приводит к существованию особой сохраняющейся в периодич. поле величины - квазиимпульса (значения к-рого, в отличие от обычного импульса, определены лишь с точностью до векторов обратной решётки). Аналогичным образом для гамильтониана, периодически зависящего от времени, может быть определена величина квазиэнергии. Наличие у гамильтониана дискретных симметрии приводит в К. м. к сохранению ряда мультипликативных физ. величин, к-рые (в отличие от аддитивных импульса и момента) не имеют аналогов в классич. механике. Так, если гамильтониан системы инвариантен относительно отражения пространств. координат частиц: r_i " -r_i, то он коммутирует с оператором пространств. инверсии , определяемым соотношением:

Поскольку операция является тождеств. преобразованием, собств. значения равны 1, т. е. собств. значения оператора должны быть равными Р=6 1 (верхний знак отвечает чётным, нижний - нечётнымволновым ф-циям относительно изменения знака координат частиц). В случае коммутации с гамильтонианом система, находившаяся первоначально в состоянии с к.-л. определ. собств. значением Р, будет с течением времени оставаться в этом состоянии, т. е. пространств. чётность в процессе эволюции системы сохраняется. Т. к. пространств. чётность системы, состоящей из неск. невзаимодействующих подсистем, равна произведению пространств.-чётностей подсистем, она является мультипликативным квантовым числом. Др. пример мультипликативного квантового числа - зарядовая четность. Поскольку гамильтониан сильного и эл.-магн. взаимодействий не меняется при зарядовом сопряжении (замене всех частиц на античастицы),он коммутирует с оператором зарядового сопряжения , собств. значения к-рого, как и для пространств. инверсии, равны C=b1. Собств. состояния оператора могут быть только у истинно нейтральных систем (см. Истинно нейтральные частицы),т. к. только такие системы при зарядовом сопряжении переходят сами в себя. Именно для них в процессах сильного и эл.-магн. взаимодействий сохраняется зарядовая чётность. В процессах слабого взаимодействия, гамильтониан к-рого не меняется при СР -преобразовании (см. СР-инвариантность),сохраняется СР -чётность. <Особое значение имеет инвариантность гамильтониана системы относительно перестановки одинаковых частиц. Коммутативность гамильтониана с операторами перестановки любой пары одинаковых частиц означает, что в процессе эволюции системы тип симметрии её волновой ф-ции относительно перестановок одинаковых частиц не меняется со временем. В частности, волновые ф-ции, симметричные (антисимметричные) относительно перестановки любой пары одинаковых частиц, остаются симметричными (антисимметричными). Это позволяет ввести особые постулаты К. м., необходимые для описания систем одинаковых частиц (см. ниже).
Обратимость уравнения Шрёдингера во времени Ур-ние Шрёдингера для системы бесспиновых частиц, взаимодействующих по центр. закону или (и) находящихся в электрич. поле (в отсутствие магнитного), сохраняет свой вид при замене t на -t и одноврем. переходе к комплексному сопряжению (т. к. для таких систем ). На этом основана симметрия К. м. по отношению к обращению времени: если возможно к.-л. квантовомеханич. движение, описываемое вектором состояния |y>, то возможно и движение, описываемое вектором состояния |y*>, при к-ром система проходит во времени те же состояния в обратном порядке. Для частиц со спином симметрия относительно обращения времени будет выполняться, если одновременно с переходом от |y> к |y*> изменить направление проекции спинов частиц (т. к. она меняет знак при замене t " -t).При наличии магн. поля симметрия относительно обращения времени будет выполняться, если одновременно с заменой t " -t рассматривать движение в магн. поле, знак к-рого изменён на противоположный. Это естественно, т. к. ур-ния эл.-магн. поля (Максвелла уравнения )симметричны относительно обращения времени при одноврем. замене напряжённости магн. поля H " - Н (или эквивалентной замене скалярного и векторного потенциалов: j " j, А " - А). Формально обратимость ур-ния Шрёдингера в этом случае имеет место благодаря тому, что комплексно-сопряжённый гамильтониан для частиц в эл.-магн. поле совпадает с гамильтонианом, преобразованным в соответствии с заменой j " j, А " - А. Симметрия относительно обращения времени приводит к ряду важных следствий, таких, как Крамерса теорема, равенство коэф. туннельных переходов при прохождении потенциального барьера сразных сторон, теорема взаимности (согласно к-рой совпадают амплитудыдвух процессов рассеяния, являющихся обращёнными по времени по отношению друг к другу). Существенно, что в К. м. эта симметрия относится лишь к эволюции вектора состояния и не включает процесс измерения, к-рый носит необратимый характер.
Плотность потока вероятности Из ур-ния Шрёдингера в конфигурац. представлении с гамильтонианом (33) вытекает уравнение непрерывности:

дr/ дt + div j = 0, (57)

где r - плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатами ( х, у, z )в момент времени t, а вектор

по своему смыслу представляет собой плотность потока вероятности. Т. о., вероятность частице пройти за ед. времени через площадку dsравна: ddw/dt=(jn)ds(n - единичная нормаль к ds). Соотношение (57) аналогично ур-нию непрерывности в гидродинамике и является непосредств. следствием сохранения полной вероятности (и отвечающего этому требованию условия эрмитовости гамильтониана). Если волновая ф-ция представлена в виде y=А ехр(i Ф) (где амплитуда А (х, у, z, t )и фаза Ф( х, у, z, t) - действит. числа), то

j = rh/mn Ф, r = |y|². (59)

В частности, для плоской волны (Ф = -wt+kr) ур-ние (59) по аналогии с гидродинамикой даёт: j=rv, где v=p/m=hk/m. (В связи с этим отметим, что оператор (-i/m)n в (58) представляет собой оператор скорости ) Из (59) следует, что отличный от нуля поток вероятности существует только в том случае, если волновая ф-ция имеет зависящую от координат фазу (если y - действительная, то j=0). Несколько др. ситуация будет для заряж. частицы в эл.-магн. поле, волновая ф-ция к-рой оказывается неоднозначной из-за неоднозначности потенциалов поля, определённых с точностью до градиентного преобразования:

где f(x, у, z, t) - произвольная ф-ция координат и времени. Поскольку преобразования (60) не меняют значений напряжённостей полей, они не должны влиять и на любые др. величины, имеющие физ. смысл. Действительно, ур-ние Шрёдингера с гамильтонианом (34) не меняется при преобразовании (60), если одновременно проводится преобразование волновой ф-ции:

y " y exp {(ie/hc)f}. (61)

При этом плотность потока вероятности равна

и также остаётся неизменной при одноврем. проведении преобразований (60) и (61).Зависимость фазы волновой ф-ции от потенциалов поля может приводить к наблюдаемым интерференц. эффектам даже в отсутствие прямого силового воздействия на заряж. частицу (см. Ааронова - Бома эффект).
Стационарные состояния В классич. механике ф-ция Гамильтона, не зависящая явно от времени, равна сохраняющейся со временем энергии системы. Соответственно в К. м. физ. система, гамильтониан к-рой не зависит от времени, может находиться в состояниях с определ. энергией. Эти состояния наз. стационарными. Отвечающие им векторы состояния являются частными решениями

временного уравнения Шрёдингера (29) и имеют вид:

где |y>не зависит от времени и представляет собой собств. вектор оператора Гамильтона:

принадлежащий собств. значению энергии E. Ур-ние (64) является одним из осн. ур-ний К. м. и наз. стационарным уравнением Шрёдингера. В стационарном состоянии постоянны и не меняются со временем ср. значение (любой) физ. величины f (независящей явно от времени) и вероятности w_fi, обнаружить при измерении то или иное значение f_i этой величины,

В частности, не меняется cо временем вероятность обнаружить частицу в окрестности к.-л. точки (поскольку для волновой ф-ции Y (r, t) = ехр{( - iE/h)t}y(r)стационарного состояния |Y(r,t)|²=|y(r)|²). Т. о., стационарное состояние аналогично стоячей волне, в к-рой зависимость от времени факторизована и амплитуда колебаний в каждой точке не зависит от времени.
Соотношение неопределённостей для энергии и времени. Для энергии и времени СН

отличается по смыслу от аналогичного соотношения (42), поскольку время t не является динамич. переменной и должно рассматриваться как параметр. Для нестационарных состояний с характерным разбросом энергии DE под величиной Dt в (65) следует понимать промежуток времени, в течение к-рого существенно (на величину соответствующей дисперсии) изменяются ср. значения физ. величин, характеризующих систему. Так, для волнового пакета шириной Dx~1/Dk величина Dt соответствует времени его прохождения через заданную точку Dt ~ Dx/v _гр~1/Dw (где v_rp= дw/ дk - групповая скорость пакета, а Dw - характерный разброс частот). Для квазистационарного состояния (см. ниже) в качестве Dt выступает его время жизни t, и из соотношения (65) получается выражение для его ширины: Г~h/t.Др. аспект соотношения (65) заключается в том, что возмущение, действующее на систему в течение времени Dt, вызывает в ней (независимо от своей величины) переходы между уровнями энергии в интервале DE, определяемом (65) [отсюда получается, напр., критерий адиабатичности (см. Адиабатические возмущения)].Этот аспект тесно связан с первым. Действительно, если рассматривать данную и возмущающую её системы как подсистемы единой замкнутой системы, то можно заключить, что последняя должна быть нестационарной и обладать характерным временем Dt изменения своих параметров (поскольку именно на это время включается взаимодействие между подсистемами). Отсюда следует, что объединённая система обладает разбросом по энергии DE/Dt. Если рассматриваемая подсистема первоначально находилась в стационарном состоянии, то таким разбросом энергии обладала бы возмущающая подсистема. Данная же подсистема приобретает его в результате обмена энергией при взаимодействии с возмущающей подсистемой. Условно можно сказать, что физ. система на короткие времена Dt ~h/DE может переходить в виртуальные состояния с нарушением закона сохранения энергии на величину DE. Из (65) следует, что взаимодействие, приносимое виртуальными частицами с массой М, должно иметь радиус h/Mc.
Стационарное уравнение Шрёдингера. В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром, определяемым из ур-ния (64). В зависимости от вида потенц. энергии (т. е. от характера взаимодействия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы), либо смешанным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях - непрерывны).Характер квантовомеханич. движения, описываемого ур-нием (64), можно понять, рассматривая одномерное движение частицы (вдоль оси х )в случае, когда потенц. энергия V зависит только от х. Ур-ние Шрёдингера в конфигурац. пространстве

сводится к ур-нию

где выражение р ²( х) = 2m [E - V (х)]совпадает с квадратом классич. импульса частицы (с энергией E) в точке х. В классич. механике должно всегда выполняться условие E/V(x), причём точки х₀, в к-рых V(x₀)=E, являются точками остановки и ограничивают область возможного классич. движения. В отличие от классич. механики, ур-ние (66) имеет смысл и в области V(х)>E, где классич. импульс формально становится мнимым. Эту область движения наз. "неклассической". Для действит. решения ур-ния (67) y "(x) обращается в нуль в точках остановки и в точках, где обращается в нуль сама y(x). Эти точки являются точками перегиба ф-ции y(x). Отсюда вытекает, что в неклассич. области y(x) либо вовсе не обращается в нуль (будучи направленной выпуклостью вниз при y>0 или выпуклостью вверх при y<0), либо имеет всего один нуль, где происходит перегиб и поэтому сохраняется монотонное изменение y(x). В классич. же области движения возможны осцилляции ф-ции y(x). Т. о., поведение y(x) в классич. и неклассич. областях качественно различно. <Рассмотрим квантовомеханич. движение во внеш. поле с V (х), изображённой на рис. 6.

Для большой общности будем полагать наличие у V (х )как потенц. барьера, так и потенциальной ямы, а также считать, что предельные значения V при х " b: отличаются друг от друга (для определённости V₂>V₁).Характер движения в таком поле качественно определяется положением энергии Eпо отношению к предельным значениям потенц. энергии V₁ и V₂ на бесконечности. Он существенно различен в трёх областях: E>V₂/V₁(I); V₂> E>V₁ (II); V_min<E<V₁[V₂(III) (V_min - мин. значение потенц. энергии). В области (I) при х "- : существуют два приближённых линейно независимыхрешения ур-ния (67): e^bik,x, k₁² =2m(E -V₁)/h²>0,к-рые можно рассматривать как асимптотику нек-рыхдвух точных линейно независимых решении y₁(x )иy₂(x). Обшее решение y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x )при х " - : имеет асимптотич. вид

и полностью определяется заданием коэф. с₁, с₂. С др. стороны, при х " +: существуют приближенные решения ур-ния (67) к-рые являются асимптотиками двух др. точных линейно независимых решений y₃(x )и y₄(x). Точное решение y(x)= c₃y₃(x)+c₄y₄(x )при х " +: имеет асимптотич. вид

Поскольку y₃(x), y₄(x )должны линейно выражаться через y₁(x), y₂(x )(и наоборот), коэф. с₃, c₄ являются линейными ф-циями с₁, с₂:

Матричные элементы a_ik(E)являются нек-рыми функционалами потенц. энергии и зависят от энергии. Из осциллирующих при х " b: решений (68), (69) можно составить волновые пакеты, имеющие конечную норму. Поэтому никаких ограничений на значения энергии в области (I) не возникает, спектр энергий непрерывный, а движение инфинитно (неограниченно) в обе стороны. Каждое значение энергии при этом двукратно вырождено в соответствии с существованием в области (I) двух физически разл. движении. Первое из них отвечает движению частицы слева направо и выделяется граничным условием с₄=0 (т. е. требованием, чтобы при х "+: существовала только прошедшая слева волна), второе (выделяемое условием c₁=0) - движению справа налево. Отношение плотностей вероятности прошедшего и падающего потоков наз. коэф. прохождения (D), а отношение отражённого к падающему - коэф. отражения (R). Для первого из упомянутых движений

Из сохранения плотности потока следует, что R+D=1. Используя обратимость ур-ния Шрёдингера во времени [к-рая для стационарного случая сводится к тому, что наряду с любым решением y(x )решением (65) будет также комплексно-сопряжённая ф-ция y*(x)], можно получить соотношение для матричных элементов в (70):a₁₁ = a*₂₂, a₁₂=a*₂₁. Т. о., коэф. отражения (и соответственно прохождения) для частиц, движущихся слева направо (R = |c₂|²/|c₁|²=|-a₂₁/a₂₂|²) и справо налево (R' = |с ₃|²/|c₄|²=|a₁₂/a₂₂|²), одинаковы: R' = R, D'=D. В отличие от классич. механики, коэф. прохождения для квантовомеханич. движения не равен нулю даже в случае, когда энергия (E₁ )меньше высоты барьера V _Б. В этой ситуации при классич. движении слева направо частица должна была бы остановиться в точке a и затем, отразившись от барьера, двигаться налево (аналогично частица, двигавшаяся из области х " +: налево, должна была бы отразиться в точке остановки b). Область a<x<b запрещена для классич. движения. В квантовом случае существует конечная вероятность подбарьерного, туннельного, перехода (см. Туннельный эффект). Для гладкого барьера в квазиклассическом приближении коэф. туннельного перехода равен

где a(E)и b(E)- классич. точки остановки. Величина D в классич. пределе (h "0)обращается в нуль(в согласии с принципом соответствия). Существенно, что показатель экспоненты (72) зависит как квадратный корень от высоты барьера и линейно - от его длины. Поэтому вероятность туннельного перехода оказывается большей для сравнительно высоких и узких барьеров (часто встречающихся в ядерной физике), чем для низких и длинных (встречающихся, напр., в хим. реакциях). Характерна также зависимость экспоненты в (72) от массы частиц, обусловливающих заметную вероятность туннелирования для наиб. лёгких частиц - электронов. <Наряду с туннельным переходом чисто квантовым эффектом является надбарьерное отражение, происходящее при энергиях, превосходящих высоту барьера (и даже в отсутствие к.-л. барьера, напр., при прохождении частицы над потенц. ямой). "Классич." частица в этом случае свободно проходит над барьером и лишь её кинетич. энергия изменяется от величины (E - V₁) до величины (E - V₂)[при прохождении слева направо в поле с V(x), изображённой на рис. 6]. Волновым аналогом надбарьерного отражения частиц является частичное отражение световой волны от границы раздела двух прозрачных сред. Для гладких V(х )коэф. надбарьерного отражения экспоненциально мал в случаях, когда энергия частиц значительно превышает высоту барьера. <В области энергий (II) асимптотич. решение при х " - : имеет вид (68) (т. к. E>V₁), а решением при x "+: (т. <к. E<V₂) имеет вид:

Поскольку общее решение ур-ния (67) определяется двумя константами, можно положить с₄=0 и тем самым избежать физически неприемлемого экспоненциально растущего при x "+: решения. Никаких ограничений на значения энергии в области (II) [так же, как в области (I)] не возникает, т. е. спектр энергии непрерывный. Однако уровни энергии [в отличие от двукратного вырождения в области (I)] невырожденные. Это связано с необходимостью определ. выбора коэф. в одном из линейно независимых решений ( с₄=0). Благодаря невырожденности уровней энергии решения ур-ния (67) y(x )и y*(x) должны совпадать с точностью до множителя, т. е. волновая ф-ция в области (II) может быть выбрана действительной. Отсюда следует, что коэф. c₁, с₂ в (68) удовлетворяют условию c₁*=c₂, т. е. плотности потоков в волнах, идущих при х " -: налево и направо, одинаковы. Т. о., в области (II) квантовомеханич. движение, как и в классич. механике, финитно с одной стороны и соответствует полному отражению частицы, падающей слева на потенц. стенку. Однако, в отличие от классич. механики, в квантовомеханич. движении частица способна с экспоненциально затухающей вероятностью проникать внутрь барьера [см. (73)]. Это и обусловливает возможность подбарьерных переходов в случаях, когда барьер имеет конечную ширину. Точным волновым аналогом движения частиц в области (II) является полное внутреннее отражение света на границе двух сред. <В области (III) асимптотика решения ур-ния (67) при х "+: [так же, как и в области (II)] имеет вид (73), а при х " -: вместо (68) будет

При этом коэф. с₃, с₄ в (73) будут выражаться через c₁, с₂ линейно с помощью (70). Условие ограниченности y(x) при х " -: приводит к требованию c₁=0. Однако при этом для произвольного значения энергии из области (III) нельзя добиться ограниченности y(x) для х "+:, т. к., согласно (70), c₃=a₁₂c₂, c₄=a₂₂c₂ и коэф. с₄ при экспоненциально растущем решении (73) будет, вообще говоря, отличен от нуля. Физическидопустимые решения получаются поэтому только для таких выделенных, дискретных, значений энергии E_i, для к-рых a₂₂(E_i)=0. Эти значения E_i являются, т. о., корнями ур-ния a₂₂(E) = 0. Получающиеся уровни энергии невырожденны и отвечают (как и в классич. механике) финитному движению частицы в потенц. яме, т. е. связанным состояниям. В отличие от классич. механики, где финитное движение в потенц. яме происходит между двумя точками остановки при любом значении энергии из области (III), квантовомеханич. движение возможно лишь при определ. дискретных значениях энергии. Возникновение дискретных уровней энергии ("квантование энергии") - чисто волновое явление. Математически оно происходит благодаря тому, что условия ограниченности решения (73), (74) стационарного ур-ния Шрёдингера при х "b: играют роль краевых условий, удовлетворить к-рым можно лишь при дискретных энергиях (аналогично, напр., тому, как определ. граничные условия колебаний струны приводят к дискретному спектру её частот). Буквальная аналогия существует для движения частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и колебаниями струны с закреплёнными концами (рис. 7). В обоих случаях граничные условия приводят к тому, что на длине L струны (или ширине потенц. ямы) должно укладываться целое число n полуволн: ¹/₂ln = L. Отсюда получается спектр энергии:

Дискретный спектр может быть проиллюстрирован также на примере квантового осциллятора - частицы, движущейся в поле с V (х)=¹/₂ тw² х². Задача о квантовом осцилляторе является одной из важнейших и точно решаемых аналитически задач К. м. Важность её обусловлена тем, что для произвольного потенц. поля в положении равновесия х₀ должен быть минимум потенц. энергии: (dV/dx)_x=xo=0,и V(х )вблизи от положения равновесия приближённо представима в виде осцилляторной: V(х) = V(x₀)+¹/₂(d²V/dx²) _х=xox²+..., где х - отклонение от положения равновесия, а частота колебаний эквивалентного осциллятора w

На рис. 8 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) изображает потенц. энергию частицы. В этом случае частица с любой энергией (как и в случае ямы с бесконечными стенками) "заперта" внутри ямы, поэтому спектр её энергии дискретен. Горизонт. прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня E₀=¹/₂hw - наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей [положение частицы на дне ямы (E=0)означало бы точное равновесие, при к-ром х=0и р=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости]. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом hw; энергия п- гоуровня:E_n = hw(n + ¹/₂).Над каждой горизонт. прямой приведена волновая ф-ция данного состояния. За пределами ямы (в неклассич. области) волновая ф-ция быстро затухает. В классич. области движения волновая ф-ция осциллирует. Характерно, что число узлов волновой ф-ции равноквантовому числу п уровня энергии. Этот результат справедлив и для др. одномерных потенц. полей (т. н. осцилляционная теорема). В высоковозбуждённых состояниях с большими п длина де-бройлевской волны частицы становится малой по сравнению с характерными размерами области движения. Движение приобретает классич. характер: волновой пакет, построенный из состояний с близкими (и большими) п будет двигаться с большой точностью по классич. законам. <Дискретный характер уровней энергии, отвечающих связанным состояниям, позволяет понять, почему в определ. условиях заведомо сложные, составные системы (напр., атомы) ведут себя как элементарные частицы. Причина этого в том, что осн. состояние связанной системы отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квантовых систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит значения, равного ширине щели. Поэтому при достаточно малом обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (матер. точка). Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, атомные электроны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость. Справедливо и обратное заключение: наличие в системе возбуждённых состояний (как это, напр., имеет место для адронов) является свидетельством в пользу её составной структуры.
Движение в периодическом поле Движение в периодич. поле V(x+a) = V(x )(где а - период) может служить моделью движения электрона в кристалле и иллюстрирует возникновение разрешённых и запрещённых зон (полос) энергии. Пусть j₁(x )и j₂(x) - два к.-л. линейно независимых решений ур-ния Шрёдингера, отвечающих определ. энергии E. Поскольку оператор сдвига на период поля коммутирует с гамильтонианом, ф-ции j₁(x+a) и j₂(x+a) также будут решениями ур-ния Шрёдингера, принадлежащими тому же значению энергии. Поэтому они должны выражаться линейно через j₁(x )и j₂(x):

Матричные элементы в этом преобразовании зависят от вида V (х )и выбранного значения энергии, а определитель матрицы b_ik D=b₁₁b₂₂-b₁₂b₂₁ должен быть равен 1 (в силу условия постоянства определителя Вронского j'₁j₂-j₁j'₂=соnst, к-рому удовлетворяют два линейно независимых решения). Из решений j₁(x )и j₂(x) можно составить линейную комбинацию y= с₁j₁+ с₂j₂, к-рая, будучи решением ур-ния Шрёдингера с энергией E, одновременно является собств. состоянием оператора сдвига Собств. значение l при этом определяется ур-нием

Для физически приемлемого решения должно выполняться условие |l| = 1 (т. к. при |l|№1 неогранич. сдвиг решения в одну или др. сторону должен был бы приводить к бесконечно большому его значению). Для этого необходимо выполнение неравенства:

к-рое и определяет допустимые при движении в периодич. поле не дискретные уровни, а полосы энергии. [Ф-ция b₁₁(E)+b₂₂(E) не зависит от конкретного выбора решений j₁(x )и j₂(x).]Полагая ¹/₂[b₁₁(E)+b₂₂(E)]=cos(qa), получим l=ехр(biqа), где величина q - квазиимпульс системы. Энергия частицы (как следует из приведённого равенства, если его разрешить относительно Eдолжна быть чётной ф-цией q. Тот факт, что собств. значение оператора сдвига равно exp (iqa), позволяет заключить, что волновая ф-ция частицы в периодич. поле имеет вид: y=exp(iqx)j(x), где j( х) - периодич. ф-ция, j( х+а) =j( х )(см. Блоха теорема). Эти результаты лежат в основе совр. теории твёрдого тела.
Движение в центральном поле Задача о квантовомеханич. движении двух частиц с массами т₁ и m₂ [энергия взаимодействия между к-рыми V(|r₂-r₁|) зависит только от относит. расстояния между ними] сводится к рассмотрению свободного движения центра масс этих частиц и относит. движения в центр. поле V(|r|) частицы с приведённой массой m = m₁m₂/(m₁+m₂). Т. к. центр. поле обладает симметрией вращения, при движении в нём сохраняется угл. момент частицы и в качестве полного набора измеряемых величин могут быть выбраны квадрат момента l², проекция т момента на выделенную ось (обычно ось z) и энергия Eчастицы. Соответственно волновая ф-ция частицы в сферич. системе координат (r,q,j) может быть записана в виде произведения радиальной ф-ции (к-рую удобно представлять в виде и(r)/r )и угл. ф-ции, в качестве к-рой выбирается сферическая функция Y_lm(q,j) являющаяся собств. ф-цией квадрата момента и его проекции на ось z,

При этом ф-ция u_E,l(r) удовлетворяет "одномерному" ур-нию Шрёдингера по переменной r:

с эфф. потенц. энергией V _эфф = V(r)+h²l(l+1)/2mr². Состояния с l=0,1, 2, 3... наз. соответственно s-, p-, d-, f-,... (и далее по алфавиту) состояниями. Второй член в V _ЭФФ наз. центробежной энергией (аналогичная добавка к V(|r|) при рассмотрении радиального движения возникает в классич. механике из-за трансверсальной части кинетич. энергии частицы). Угл. зависимость (75) универсальна для любых центр. полей, что отражает универсальность выполнения закона сохранения момента в таких полях. В классич. механике этот закон приводит к тому, что движение в любом центр. поле происходит в фиксир. плоскости, перпендикулярной моменту и проходящей через центр. Поскольку при т~l Y_ll ~(sin q)^l,выражение (75) в случае очень больших l отлично от нуля лишь вблизи плоскости q=p/2, т. е. в пределе больших l Y_ll описывает классич. плоское движение. Напротив, квантовое движение при малых l совершенно непохоже на классическое. <В ст. Атом на рис. 2 приведены распределения электронной плотности вокруг ядра в атоме водорода для состояний с низшими значениями l и т. Видно, что задание момента (т. е. l и m) полностью определяет угл. распределение, к-рое сильно отличается от плоского. Особенно отличается от классического движение в S- волне, имеющее сферически симметричное распределение. В классич. физике устойчивое движение частицы с нулевым моментом в поле притяжения было бы вообще невозможно: частица падала бы на притягивающий центр. В К. м. для полей притяжения, растущих (по модулю) при r " 0 медленнее, чем const/r², падения на центр в S -волне не происходит. Этот факт естественно следует из соотношения неопределённостей. Центробежная энергия при l№0 представляет собой потенц. барьер, "закрывающий" область малых r. Существуют два решения ур-ния Шрёдингера: одно из них затухает под центробежным барьером при r "0, а другое -растёт. Для V(r), растущих при r " 0 медленнее, чем const/r², центробежная энергия обусловливает универс. зависимость радиальной ф-ции при r " 0:

Оба члена в (77) при r " 0 являются линейно независимыми решениями ур-ния Шрёдингера. Условие конечности нормы требует занулeния сингулярного решения, т. е. выбора с ₂=0.Т. о., при r " 0

Если энергия системы больше, чем значение V(r )при r " : (E>V_:), то решение ур-ния Шрёдингера на больших расстояниях должно иметь вид:

При этом (как и в одномерном случае отражения от потенц. стенки) поток в расходящейся от центра сферич. волне (e^ikr )должен быть равен потоку в сходящейся волне ( е ^-ikr), т. е. | с₃| = | с₄|. Исходя из этого, решение при r " : записывают в виде:

где d_l - т. н. ф а з а рассеяния, равная нулю для свободного движения (она используется для нахождения амплитуды рассеяния). Решение (79) не накладывает к.-л. ограничений на энергию системы. Поэтому при E/V_:, энергетич. спектр непрерывный, а решения описывают несвязанные состояния инфинитного движения. Если в V _эфф существует потенц. яма, такая, что V_min<V_:, то для энергий Eв интервале V_min<E<V_: решение ур-ния Шрёдингера при r " : имеет вид:

Коэф. с₃, c₄ при двух линейно независимых решениях в (80) должны линейно выражаться через c₁, c₂ из (77) по ф-лам (70). Если для произвольной энергии из рассматриваемого интервала потребовать ограниченности решения в нуле, т. е. положить с₂=0, то коэф. с₄ при растущем на бесконечности решении, равный с₄= a₂₁(E) с₁,будет, вообще говоря, отличен от нуля. Это означает, что при произвольной энергии E<V_: может не существовать физически приемлемого решения. Возможные энергии физ. состояний определяются ур-нием a_2l(E)=0 и образуют дискретный спектр. Они отвечают связанным состояниям. Т. о., условия ограниченности решения на границах области изменения радиальной переменной (r=0 и r=:) пграют роль краевых условий, приводящих (как и в одномерном случае) к дискретному спектру энергий. Дискретные уровни в радиальном ур-нии Шрёдингера (76) нумеруются радиальным квантовым числом п _r, начиная с основного ( п _r=0). Поскольку V _ЭФФ зависит от l, энергия уровня определяется двумя квантовыми числами п _r и l. Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном l может принимать (2l+1) значений: 0, b1, b2, . . ., bl; т не входит в ур-ние (76), и энергия от него не зависит (т. к. т зависит от выбора оси z, а поле сферически симметрично). Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр., при помещении системы в магн. поле (Зеемана эффект). Для нек-рых видов V(r)[напр., кулоновской: V= -Ze²/r, или изотропного трёхмерного осциллятора: V= (mw²/2)(x² + у ² + z²)] существует дополнит. (т. н. случайное) вырождение уровней энергии, обусловленное скрытой симметрией этих V(r). Так, энергия водородоподобных атомов зависит от величины n=n_r+l+1, называемой главным квантовым числом:

Т. о., заданному числу n/2 могут соответствовать состояния с разл. п _r и l. Такое совпадение представлялось случайным, поскольку для разных l уровни энергии определяются в разных потенц. ямах (различающихся центробежной энергией). Как было показано В. А. Фоком (1935), оно объясняется особой симметрией кулоновского потенциала точечного заряда, проявляющейся в явном виде при решении задачи в импульсном представлении. Для многоэлектронных атомов, в к-рых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l. Для изотропного осциллятора E =hw(2n_r+l+³/₂) и совпадающими оказываются уровни с одинаковым значением (2 п _r+l), напр., s-состояние (n_r = 1, l=0)и d-состояние (n_r=0, l=2). Общее число связанных состояний для центр. поля притяжения, убывающего (по модулю) при r " : быстрее, чем const/r^2+e (e>0), конечно, а для убывающего медленнее, чем const/r^2-e,- бесконечно (причём в последнем случае энергетич. спектр сгущается к точке E=0). Т. к. оператор пространств. инверсии коммутирует с моментом и гамильтонианом, состояния (75) в центр. поле обладают определ. пространств. чётностью. Из св-ва сферич. ф-ций Y_lm(p-q, j+2p) = (-1)^lY_lm(q,j) вытекает, что в состоянии (75) пространств. чётность P=(-1)^l .

Квазистационарные состояния Частица, движущаяся в потенциальной яме, изображённой на рис. 9, а, имеет непрерывный спектр энергии (0[E<:). Однако в области энергий V_min<E<V _б могут существовать в непрерывном спектре определ. выдел. значения энергии, отвечающие состояниям, в к-рых частица довольно длит. время оказывается связанной внутри потенц. ямы с V_min>0. Такие состояния наз. квазистационарными. В классич. механике точка V_min отвечает метастабильному состоянию равновесия и классич. частица с энергией V_min<E<V _б может быть "заперта" в потенц. яме между точками остановки а(E)и b(E). В квантовом случае такое "запирание" невозможно, т. к. частица путём туннельного перехода с определ. вероятностью "просачивается" через барьер и уходит на бесконечность. Соответственно этому отсутствуют дискретные уровни энергии. Однако при энергии, отвечающей квазистационарному состоянию, волновая ф-ция, осциллирующая в классич. области между точками остановки ( а, b),экспоненциально затухает в обе стороны от них внутрь барьеров (рис. 9, б). Т. о., энергия квазистационарных состояний весьма близка к энергии стационарных состояний, существующих в поле, совпадающем с V(r) слева от вершины барьера и равном V _б,справа от вершины. Энергия квазистационарных состояний можетбыть приближённо определена по правилу квантования Бора - Зоммерфельда: Для квазистационарного состояния амплитуда волновой ф-ции вне ямы (на рис. правее точки с )значительно меньше, чем внутри ямы [отношение их квадратов пропорционально коэф. туннельного перехода D между точками (b, с)]. Для состояний, энергия к-рых отличается от квазистационарных, соотношение между амплитудами волновой ф-ции внутри и вне ямы обратное (рис. 9, в). На рис. 9, б качественно изображена волновая ф-ция, отвечающая квазистационарному состоянию с n=n₂(E =E₂), а на рис, 9, в - с энергией E', <E₁<E'<E₂. В квазистационарном состоянии вероятность вылета частицы из ямы в единицу времени приближённо равна w=nD, где n - частота классич. колебаний частицы между точками ( а, b), отвечающая наглядно числу "ударов" о барьер в единицу времени. Для высоковозбуждённых квазистационарных состояний n~DE/2ph, где DE - расстояние между квазистационарными уровнями. Ввиду малости D для широких и высоких барьеров время жизни частицы внутри ямы (t=1/w) оказывается значительно большим периода колебании внутри ямы. Из СН следует, что энергия квазистационарного состояния может быть определена лишь с неопределённостью Г~h/t. Эту величину наз. шириной квазистационарного уровня. <Формально энергия и ширина квазистационарного уровня могут быть получены путём решения ур-ния Шрёдингера с граничным условием, требующим, чтобы на больших расстояниях волновая ф-ция представляла собой расходящуюся сферич. волну: y~ е ^jkr/r. Это условие отвечает частице, вылетающей из ямы, и приводит к комплексным собств. значениям энергии, к-рые записываются в виде: E=E₀-i Г/2(E₀ и Г - вещественные). Такая запись отвечает экспоненц. убыванию квадрата модуля волновой ф-ции внутри ямы со временем (~е ^{- Г t}).Квазистационарные состояния соответствуют полюсам амплитуды рассеяния, аналитически продолженной по энергии в комплексную плоскость, и при энергии налетающей частицы вблизи квазистационарного уровня - резонансам в рассеянии (см. Брейта - Вигнера формула, Рассеяние микрочастиц). В плоскости комплексного l квазистационарным уровням (так же, как и стационарным) соответствуют определ. Р е д ж е траектории (см. Редже полюсов метод).
Спин. Полный момент Если осн. состояние составной системы (напр., атома или ядра) отделено энергетич. щелью от возбуждённых, то в процессах, где обмен энергией значительно меньше величины щели, систему можно считать элементарной, а её движение в полях, мало меняющихся на расстояниях порядка размеров системы, представлять как движение материальной точки с координатами центра масс системы. Если при этом в рассматриваемом состоянии система имеет момент, то его следует рассматривать как дополнит., внутр. переменную, характеризующую состояние частицы и влияющую на её поведение, напр., в магн. поле. Нет оснований считать, что подобная внутр. переменная отсутствует у частиц, к-рые при существующем уровне знаний принимаются за элементарные. Аппарат К. м. позволяет естеств. образом описать движение частицы с учётом её внутр. степени свободы, к-рая имеет смысл собств. момента и наз. спиновым моментом или просто спином. Для этого надо обобщить выражение (54) и считать, что в операторе бесконечно малого поворота системы оператор содержит две части: одна из них действует на координаты волновой ф-ции частицы y ( х, у, z,s, t )и представляетсобой оператор орбит. момента а другая действует на внутр. переменную s, отвечающую спину. Оператор соответствует полному моменту и равен: Т. к. действуют на разные переменные волновой ф-ции, их компоненты коммутируют между собой. Пусть А - векторная величина, к-рой соответствует оператор По определению вектора, при повороте он должен меняться след. образом: Действуя оператором поворота на ф-цию ( х, у, z, s, t )и учитывая, что (где е _klт - единичный полностью антисимметричный тензор), можно получить перестановочные соотношения

к-рые должны быть справедливыми для любого вектора. Используя в качестве в (81) операторы и учитывая коммутативность можно прийти к заключению, что операторы компонент полного, орбитального и спинового моментов подчиняются одинаковым коммутац. соотношениям: Из одних только этих перестановочных соотношений следует, во-первых, что любая компонента S_i измерима одновременно с квадратом спина S²= S²_x+S²_y+S²_z, т. <е. (в качестве такой компоненты обычно выбирают проекцию на ось z), и, во-вторых, что собств. значения s_i оператора проекции спина на выделенную ось, отличаясь друг от друга на 1 (в единицах h), заключены между нек-рыми максимальным (S) и минимальным (-S )значениями, т. е. принимают (2S+1) значений: S, S-1, . . . . . ., -S. Отсюда следует, что S может быть целым или полуцелым, в то время как квантовое число орбит. момента принимает только целые значения. О величине S говорят как о значении спина частицы. Из перестановочных соотношений следует также, что квадрат спина (в единицах h²) равен S(S+1), и может быть получен явный вид матриц операторов проекции спина в представлении, где в качестве измеримой величины берётся проекция спина на ось z. Матричными элементами, отличными от нуля, являются

Задание этих матриц полностью определяет действие операторов проекции спина на волновую ф-цию системы, к-рую с учётом возможных значений внутр. переменной удобно представлять в виде столбца с (2S+1) компонентами:

где y_s( х, у, z, t )отвечает волновой ф-ции частицы в состоянии с S_z = s.Опыт показал, что спин электрона, протона и нейтрона равен ¹/₂ (т. е. внутр. переменная, отвечающая спину, принимает для них 2 значения). В случае спина ¹/₂

а оператор спина имеет в этом представлении вид

где s(s _х,s _у,s_z)- Паули матрицы,

Со спином частицы может быть связан её магн. момент m, к-рый принято выражать в виде здесь величина е/2тс - гиромагнитное отношение для орбит. движения, а величина g безразмерна. Для электрона и мюона g = 2 (с точностью до радиационных поправок). Теоретич. объяснение равенства g = 2 было одним из достижений релятивистского ур-ния Дирака. Нерелятивистское квантовомеханич. движение частиц со спином ¹/₂ описывается Паули уравнением. Взаимодействие магн. момента атомного электрона с магн. полем, создаваемым ядром в системе покоя электрона, вместе с учётом релятивистских эффектов (т. н. томасовской прецессии )приводит к спин-орбитальной LS-связи, к-рая определяет тонкую структуру атомных спектров (см. Спин-орбитальное взаимодействие). При наличии LS-связи сохраняющимися являются величина полного момента J и его проекция J_z;сохраняются также величины L и S, но не их проекции на ось z. Наглядно можно представить, что векторы L и S, складываясь, прецессируют вокруг направления J, а сам вектор J с равной вероятностью лежит на поверхности конуса с осью вдоль оси z, так что сохраняется проекция J_z на эту ось (рис. 10).

Из этой картины следует, что сохраняются проекции на J величин L и S[т. е. (LJ )и (SJ)], а также величина (LS). Разл. уровням тонкой структуры соответствуют разные значения J. Взаимодействие магн. момента ядра с магн. полем, создаваемым электронной оболочкой (за счёт орбит. и спинового моментов), приводит к дополнит. расщеплению и сверхтонкой структуре атомных уровней.
Системы многих частиц. Тождественные частицы Квантовомеханич. ур-ние движения для системы, состоящей из N частиц, описывается ур-нием Шрёдингера, содержащим потенц. энергию, зависящую от координат всех частиц и включающую как воздействие на них внеш. поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая ф-ция также является ф-цией координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пространстве. <Если квантовомеханич. системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфич. явление, не имеющее аналогии в классич. механике (хотя и в классич. механике случай одинаковых частиц тоже имеет нек-рую особенность). Пусть, напр., столкнулись две одинаковые "классич." частицы (первая двигалась слева, а вторая - справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая - вверх, вторая - вниз). Для результата столкновения не имеетзначения, какая из частиц полетела, напр., вверх, поскольку частицы одинаковы,- практически надо учесть обе возможности (рис. 11, а и 11, б). Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с нек-рой неопределённостью, с "размытыми траекториями" (рис. 11, в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, в К. м. одинаковые частицы полностью неразличимы - тождественны. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна из одинаковых частиц полетела вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет. Все состояния, получающиеся перестановкой одинаковых частиц, в К. м. (в отличие от классической) неразличимы и при подсчёте числа состояний должны приниматься за одно состояние (это разрешает парадокс Гиббса в статистич. физике).Квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых ф-ций. Вероятность нахождения частиц в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой ф-ции, зависящей от координат обеих частиц, |y(1, 2)|², где 1 и 2 означают совокупность пространств. и спиновых переменных соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене их местами вероятности были одинаковыми:

|y (1, 2)|² = |y(2, 1)|².

Отсюда вытекают две возможности:

y(1, 2) = y(2, 1), y(1, 2) = -y(2, 1).

Если при перемене частиц местами волновая ф-ция не меняет знака, то она наз. симметричной, если меняет - антисимметричной. Поскольку только суперпозиция ф-ций одинаковой симметрии обладает определ. (той же самой) симметрией, то в соответствии с принципом суперпозиции все состояния к.-л. пары одинаковых частиц должны описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми ф-циями. Т. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2 (т. е. гамильтониан коммутирует с оператором перестановки), то свойства симметрии или антисимметрии волновой ф-ции сохраняются во времени. Это означает, что требование одной определ. симметрии относительно перестановки одинаковых частиц не противоречит принятым ранее постулатам К. м. <В системе из большего числа одинаковых частиц могли бы в принципе осуществляться более сложные представления группы перестановок частиц (см. Парастатистика). Однако, как показывает опыт, в системе из произвольного числа тождеств. частиц имеет место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Свойство симметрии или антисимметрии оказывается характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно все частицы делятся на два класса. Частицы, описываемые симметричными волновыми ф-циями, наз. бозонами, антисимметричными - фермионами. Эмпирически было установлено правило, связывающее симметрию волновых ф-ций тождеств. частиц со значением их спина (т. н. связь спина и статистики). В нерелятивистской К. м. оно было принято в качестве постулата:V. Частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым - фермионами. <В дальнейшем связь спина и статистики была в определ. предположениях обоснована теоретически Паули (Паули теорема, являющаяся одной из осн. теорем релятивистской К. м.). В частности, фермионами являютсявсе лептоны, барионы, кварки, а бозонами - фотоны, промежуточные векторные бозоны, глюоны,p- и К-мезоны и др. Сложные частицы (напр., атомные ядра), состоящие из нечётного числа фермионов, являются фермионами, а из чётного - бозонами. <Свойства симметрии волновой ф-ции определяют статистич. свойства системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств. частицы находятся в одинаковых внеш. условиях (напр., во внеш. поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения- числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Если тождеств. частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая ф-ция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волновая ф-ция должна быть антисимметричной. Это свойство наз. принципом запрета Паули (принципом Паули). Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, молекулах и т. д. Для бозонов же числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханич. свойств тождеств. частиц существуют два типа статистик: Ферми - Дирака статистика для фермионов и Бозе - Эйнштейна статистика для бозонов. Пример ферми-системы - электронный газ в металле, пример бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное эл.-магн. излучение), жидкий ⁴ Не. <Принцип Паули является определяющим для объяснения периодич. системы элементов Менделеева, ядерных оболочек (см. Ядро атомное); он объясняет характерные свойства электронов в металлах, напр., их теплоёмкость и электропроводность.
Обменное взаимодействие. Химическая связь Молекула представляет собой связанную систему ядер и электронов, между к-рыми действуют электрич. (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что система такого типа неустойчива (Ирншоу теорема). Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически Квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятно с точки зрения классич. представлений существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с ковалентной связью (напр., простейшей молекулы Н ₂). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой ф-ции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным. <Рассмотрим для примера молекулу водорода Н ₂, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая ф-ция такой системы представляет собой произведение двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая - только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая ф-ция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов, и для того чтобы полная волновая ф-ция (в соответствии с принципом Паули) была антисимметричной, координатная часть волновой ф-ции y(r₁, r₂ )должна быть симметричной относительно перестановки координат электронов. Приближённо она может быть представлена в виде

y ~ y_a(1)y_b(2)+y_b(1)y_a(2), (83)

гдеy_a (r_i), y_b(r_i) - координатная часть волновой ф-ции i -гo электрона (i = l, 2) соответственно у ядер а и b. Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрич. заряда r=e|y|²=eyy*. При учёте свойств симметрии y (r₁, r₂), помимо плотностей обычного вида:

е|y _а(1)|²|y_b(2)|², e|y_b(1)|²|y_a(2)|²,

соответствующих движению отд. электронов около разных ядер, появляются добавки к плотности вида:

ey*_a(l)y_b(1)y*_b(2)y_a(2), ey*_b(1)y_a(1)y_a*(2)y_b(2).

Они наз. обменной плотностью, потому что возникают как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряж. ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной хим. связи. При суммарном спине электронов, равном 1, y(r₁,r₂ )антисимметрична, т. <е. в (83) перед вторым слагаемым стоит знак минус и обменная плотность имеет отрицат. знаки, следовательно, уменьшает плотность отрицат. электрич заряда между ядрами, что приводит как бы к дополнит. отталкиванию ядер. Т. о., симметрия волновой ф-ции приводит к "дополнит.", обменному взаимодействию. Характерна зависимость этого взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно динамически спины не участвуют во взаимодействии - источником взаимодействия являются электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами, но в зависимости от суммарного спина электронов волновая ф-ция, антисимметричная относительно перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). От типа же симметрии y(r₁, r₂) зависит знак обменной плотности и соответственно эфф. притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Т. о., суммарный спин электронов фактически определяет хим. связь. В двухатомных молекулах с одинаковыми ядрами от суммарного спина ядер зависит, в каких вращат. состояниях может находиться молекула. Так, молекула Н ₂ при суммарном спине протонов S =1 (ортоводород) может находиться только во вращат. состояниях с нечётным моментом, а при S = 0 (параводород) - только с чётным. Расчёты строения и свойств молекул на основе К. м. являются предметом квантовой химии. Обменное взаимодействие играет существ. роль во мн. явлениях, напр., объясняет ферромагнетизм. В этом случае обменная энергия имеет др. знак, чем в молекуле. Благодаря отталкиванию электронов более низким по энергии оказывается состояние с антисимметричной координатной ф-цией и, следовательно, симметричной спиновой ф-цией (отвечающей параллельной ориентации спинов). Такое же различие имеет место для уровней орто- и парагелия. <Множество явлений в конденсир. телах тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой ф-ции для фермионов приводит к тому, что они при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга, даже если между ними не действуют никакие силы. Эти силы отталкивания между электронами (обусловленные принципом Паули) дают осн. вклад в давление сжатого вещества (при давлениях выше неск. сотен млн. атм, когда ядра сближаются настолько, что начинают разрушаться атомные оболочки) и объясняют феномен белых карликов. В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волновыми ф-циями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат в основе сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы лазеров).
Приближённые методы К. м. Ур-ние Шрёдингера имеет точное аналитич. решение только для огранич. класса систем (важнейшими из к-рых являются осциллятор и водородоподобный атом). В связи с этим особое значение имеют всевозможные приближённые методы К. м. <Довольно общий приближённый метод К. м.- возмущений теория, применимая в случаях, когда дополнит. взаимодействие, рассматриваемое как возмущение, может считаться малым. При этом постановка задачи различна для возмущений, зависящих и не зависящих от времени. В последнем случае с помощью аппарата т. н. стационарной теории возмущений обычно ищут сдвиги дискретных уровней энергии или их расщепления (когда имеется вырождение) и соответствующие волновые ф-ции. Для возмущений, зависящих от времени, обычно ставится задача определения вероятностей переходов между разл. состояниями системы под влиянием возмущения. Между состояниями, принадлежащими сплошному спектру энергии, подобного рода переходы могут возникать и под действием возмущений, не зависящих от времени. В обоих случаях используется т. н. нестационарная теория возмущений. Одним из распространённых применений этой теории к задачам рассеяния является борновское приближение. Для плавно меняющихся потенциалов успешно применяется квазиклассич. приближение, в особенности для вычисления коэф. туннельных переходов и уровней энергии (с помощью правил квантования Бора). Наиб. последоват. способ вычисления коэф. надбарьерного отражения и матричных элементов по быстро осциллирующим квазиклассич. ф-циям даёт аналитич. продолжение квазиклассич. решений в область комплексного переменного. Сходным с квазиклассическим является метод рассмотрения адиабатических возмущений. В ряде случаев области применимости квазиклассич. и борновского приближений дополняют друг друга. Так, для кулоновского рассеяния заряж. частицы на ядре условием применимости борновского приближения является Ze²/hv<<1, а квазиклассического Ze²/hv>>1(где v - скорость частицы).Особые трудности вызывает рассмотрение систем с большим числом взаимодействующих частиц (напр., многоатомных молекул или ядер). В этом случае для определения уровней и волновых ф-ций успешно используются вариационные методы расчёта (эффективность к-рых существенно возрастает по мере увеличения мощности используемых ЭВМ). Если в многочастичной системе выделяются "быстрые" и "медленные" движения отд. составляющих, то возможно использование адиабатического приближения. Одним из наиб. распространённых способов рассмотрения квантовомеханич. движения в многочастичных системах является метод самосогласованного поля (см. также Хартри - Фока метод), к-рый особенно эффективен в сочетании с вариац. методами.
Парадоксы К. м. Если квантовомеханич. переход из одного состояния в другое может осуществляться через разл. промежуточные состояния, то амплитуда перехода представляет собой суперпозицию амплитуд альтернативных движений, или путей перехода. При этом вероятность перехода может быть не равна сумме вероятностей переходов по отд. путям (как в случае классич. движения), т. е. в К. м., как отмечалось выше, складываются амплитуды переходов (с их фазами), а не вероятности. В сложении альтернативных движений (или состояний) проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. И в этом по существу корень всех обсуждавшихся парадоксов К. м. Остановимся на нек-рых из них.1) Проходит ли фотон сразу через две щели (см. рис. 1)?Пусть |S> - состояние фотона, выходящего из источника S, а размеры щелей а и b (для простоты) значительно меньше длины волны. Тогда < а|S> и <b|S> - амплитуды вероятности обнаружить фотон в состояниях | а> и |b>, отвечающих попаданию его соответственно в щель а и b. Обозначая амплитуды вероятности попадания фотона из состояния | а> и |b> в произвольную точку экрана х символами <x|a> и <х>, можно представить амплитуду перехода фотона из источника S в точку x в виде суммы:

<x | S> = <x | a><a | S> + <x | b><b | S> = j₁ +j ₂, (84)

где j₁, j₂ обозначены первый и второй члены в сумме. Вероятность w_xS попадания фотона в точку х может быть представлена в виде:

w_xS = | j₁ + j₂|² = | j ₁|² +| j₂ |² + (j *₁j₂+ j₁j*₂). (85)

Первые два члена в (85) неотрицательны и совпадают с вероятностями попадания в точку х классич. частицы, движущейся соответственно по траекториям Sax и Sbx. Третий член - интерференционный, возникающий из-за того, что в (84) складываются амплитуды двух альтернативных переходов. Интерференц. член может обратить в нуль вероятность w_xS даже в том случае, когда |j₁|²№0 и |j₂|²№0. При l " 0 интерференц. член быстро осциллирует с изменением координаты точки х, так что его ср. значение, взятое по малой окрестности d х, обращается в нуль и вероятность w_xS совпадает с тем, что даёт классич. представление о движении частиц по опредсл. траекториям. В условиях же, когда наблюдается интерференц. картина, в амплитуде (84) обязательно присутствуют альтернативные пути перехода: понятие определ. траектории теряет смысл. Поскольку амплитуда вероятности описывает движение отд. частицы, выражение (84) подразумевает, что в терминах амплитуды вероятности частица одновременно проходит через две щели - а и b. Это противоречит корпускулярным представлениям. Избежать формально логич. противоречия (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. <Подчеркнём, что К. м., основываясь на понятии наблюдаемой физ. величины, в состоянии отвечать лишь на такие вопросы, к-рые могут быть сформулированы в терминах определённой (хотя бы мысленной) измерит. процедуры. Поэтому вопрос о том, проходит ли частица сразу через две щели, формулируется так: возможно ли зарегистрировать одноврем. прохождение частицы через эти щели? Такая постановка вопроса предполагает наличие детекторов, регистрирующих прохождение частицы. В соответствии с корпускулярными представлениями для каждой частицы, испущенной источником, будет срабатывать лишь один детектор (с вероятностями |< а|S>|² и |<b|S>|², т. е. зарегистрировать прохождение частицы одновременно через две щели не удастся. Но фиксация щели, через к-рую прошла частица, т. е. фиксация её траектории, оставляет в амплитуде (84) лишь один член. Поэтому статистич. распределение частиц на экране после прохождения большого их числа будет отвечать классич. распределению |j₁|²+|j₂|². Т. о., попытка определить траекторию частицы является таким вмешательством в процесс, к-рое ликвидирует интерференцию. <Для интерференции существенно наличие неск. возможных путей перехода из нач. состояния в конечное. Это относится не только к дифракции на двух щелях. Так, взаимная компенсация амплитуд перехода (см. К-мезоны )через промежуточные состояния кварк-антикварков объяснила в механизме Глэшоу - Илиопулоса и Майани наблюдаемую разность масс короткоживущих п долгоживущих каонов и поэтому явилась в своё время одним из наиб. веских теоретич. аргументов в пользу гипотезы существования с -кварков (см. Электрослабое взаимодействие).2)Волновая ф-ция частицы в конфигурац. представлении является решением ур-ния Шрёдингера вместе с граничными условиями, накладываемыми физ. соображениями. При этом движение частицы не определяется локальным действием на неё силовых полей. В К. м. существует (исчезающее в классич. пределе) нелокальное воздействие на частицу. Этот эффект также трудно понять, исходя из классич. представлений. Пусть, напр., в потенц. яме радиуса а существует уровень с небольшой энергией связи е. Тогда вне ямы волновая ф-ция должна убывать по закону и характерный радиус области, в к-рой движется частица, может при достаточно малом e значительно превышать радиус действия сил а: r₀>a (подобная ситуация осуществляется в дейтроне). Такая возможность частице уходить на расстояния, где на неё уже не действуют никакие силы, и вместе с тем обладать финитным движением - характерный квантовомеханич. эффект, необъяснимый с точки зрения классич. механики. Аналогичным образом в К. м. возникает явление резонансного рассеяния. Эфф. сечение в этом случае имеет порядок pl², где l - де-бройлевская длина волны рассеиваемой частицы; при малых энергиях оно может значительно превышать "геом." сечение p а² ( а - радиус действия сил). Одно из проявлений нелокального характера силового воздействия в К. м. - Ааронова- Бома эффект.3) Принципиальное значение для понимания интерпретации К. м. имело рассмотрение Эйнштейна - Подольского - Розена парадокса, заключающегося в том, что, согласно К. м., возможны корреляции между разл. измерениями, проводимыми в разных точках, разделённых пространственноподобными интервалами (что, согласно относительности теории, казалось бы, исключает возможность к.-л. корреляции). Подобного рода корреляции возникают потому, что результат измерений в к.-л. одной точке меняет информацию о системе и позволяет предсказывать результаты измерения в др. точке (без участия к.-л. материального носителя, к-рый должен был бы двигаться со сверхсветовой скоростью, чтобы обеспечить влияние одного измерения на другое).Возможность проверить количественно при измерении указанных корреляций отличие предсказаний К. м. от предсказаний любой теории со скрытыми параметрами (в рамках спец. теории относительности) была указана Дж. Беллом (J. Bell) в 1964 (см. Белла неравенства). Эксперим. проверка неравенства Белла свидетельствует в пользу принятой интерпретации К. м. Общая теорема о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. (при условии сохранения одного из её положений - соответствия между физ. величинами и операторами) была доказана в 1927 Дж. фон Нейманом (J. von Neumann). Лит.: Классические труды - Гейзенберг В., Физические принципы квантовой теории, пер. с нем., Л.- М., 1932; Паули В., ООщие принципы волновой механики, пер. с нем., М.- Л., 1947; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 нзд., М., 1979; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964; Учебники - Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 6 изд., М., 1983; Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1974; Ш и ф ф Л., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1959; Давыдов А. С., Квантовая механика, 2 изд., М., 1973; Ф е й н м а н Р., Лейтон Р., С э н д с М., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1978; Мессиа А., Квантовая механика, пер. с франц., т. 1-2, М., 1978-79; Д ж е м м е р М., Эволюция понятий квантовой механики, пер. с англ., М.,1985, С. С. Герштейн, В. Б. Берестецкий.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.