Мнимая экспонента

Экспоне́нта (комплексного переменного) — функция, задаваемая соотношением f(z) = e^z.

Данное определение в целом формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому, и в случае со степенной функцией, будем строго определять экспоненту с помощью аналитического продолжения её вещественного аналога. Для начала определим формальное выражение $e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$. Ясно, что определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Поэтому для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции e^z.

Для этого разложим её вещественный множитель в ряд:

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

и проверим его сходимость, которая легко доказывается:

$\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}$.

Ряд сходится абсолютно, следовательно, вообще сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке и будет определять значение аналитической функции f(z) = e^z. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, теперь эта аналитическая функция определена полностью и однозначно.

Одним из интересных свойств комплексной экспоненты, не проявляющимся в вещественном случае, является её периодичность. Это неудивительно — из формулы Эйлера, которая ранее была формальной, а теперь превратилась в полностью корректное утверждение следует, что $e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}$. Отличие её от остальных ранее известных периодических функций — наличие чисто мнимого периода.

Максимальной областью однолистности экспоненты будет, как следует из её периодичности, горизонтальная полоса на комплексной плоскости $\{z:2\pi(k-1)<\Im z<2\pi k\}$