Волновая функция


Волновая функция
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция \psi \, — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx

где \left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle  — координатный базисный вектор, а \Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Содержание

Физический смысл волновой функции

В координатном представлении волновая функция \! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t) зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля \! \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2, который интерпретируется как плотность вероятности ~\omega (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами  \! x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n} в момент времени ~t:

~\omega = \frac{dP}{dV} = \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2  = \Psi^\ast\Psi.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией \! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t), можно рассчитать вероятность ~P того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема ~V: P={\int{dP}}={\int\limits_{V} {\omega}dV}={\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dV}     ~(1).

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

Волновая функция в различных представлениях

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями \! \Psi_1 и \! \Psi_2, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 при любых комплексных \! c_1 и \! c_2.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией \! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + {c}_N{\Psi}_N=\sum_{n=1}^{N} {c}_n{\Psi}_n.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента ~{c}_n определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией ~{\Psi}_n.

Поэтому для нормированных волновых функций ~\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^2=1.

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

  1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл ~(1) станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
  2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
  3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции ~\frac{\partial \Psi}{\partial x}, ~\frac{\partial \Psi}{\partial y}, ~\frac{\partial \Psi}{\partial z}. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Нормированность волновой функции

Волновая функция \! \Psi по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

 {\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dV}=1


Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо во всём пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать оператором типа матрицы плотности. То есть, некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше. Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

См. также

Литература

  • Физический энциклопедический словарь./Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Волновая функция" в других словарях:

  • ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ — ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ функция, позволяющая найти вероятность того, что квантовая система находится в некотором состоянии s в момент времени t. Обычно пишется: (s) или (s, t). Волновая функция используется в уравнении ШРЕДИНГЕРА …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ — ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… …   Современная энциклопедия

  • Волновая функция — ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ — (вектор состояния) в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих ее физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ — в квантовой механике (амплитуда вероятности, вектор состояния), величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (эл на, протона, атома, молекулы) и вообще любой квант. системы. Описание состояния микрообъекта с помощью В. ф. имеет… …   Физическая энциклопедия

  • волновая функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN wave function …   Справочник технического переводчика

  • волновая функция — (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен… …   Энциклопедический словарь

  • волновая функция — banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. волновая функция, f; волнообразная функция, f pranc. fonction d’onde, f …   Fizikos terminų žodynas

  • волновая функция — banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: angl. wave function rus. волновая функция …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

  • ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ — комплексная функция, описывающая состояние квантовомех. системы и позволяющая находить вероятности и ср. значения характеризуемых ею физ. величин. Квадрат модуля В. ф. равен вероятности данного состояния, поэтому В.ф. наз. также амплитудой… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Волновая функция» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.