Уравнение Линдблада

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Уравнение Линдблада — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности $\rho$. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Г. Линдбладом^[1], В. Горини, А. Коссаковским, Е. К. Г. Сударшаном^[2].

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

${d \over dt} \rho ={1\over i \hbar} [H,\rho ]+{1\over 2\hbar} \sum^{\infty}_{k=1} \big([V_k \rho ,V^{\dagger}_k] +[V_k,\rho V^{\dagger}_k] \big),$

где $\ \rho$ — матрица плотности, $\ H$ — оператор Гамильтона, $\ V_k$ — некие операторы. Если операторы $\ V_k$ равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

${d \over dt} A= -{1\over i \hbar} [H,A]+ {1\over 2\hbar} \sum^{\infty}_{k=1} \big(V^{\dagger}_k [A, V_k] +[V^{\dagger}_k,A]V_k \big),$

где $\ A$ — квантовая наблюдаемая. Если операторы $\ V_k$ равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой $\ A$ переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений^[3], в которой операторы $\ V_k$ имеют вид: $\ V_{kl}{=}\hbar\gamma\sqrt{\tilde\rho_{kk}}|k\rangle\langle l|$ (для удобства записи матричный индекс $\ k$ заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линблада к виду:

${d \over dt} \rho ={1\over i \hbar} [H,\rho ]+\gamma(\tilde\rho-\rho),$

где $\ \tilde\rho$ — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами $\tilde\rho_{kk}$, такими, что $\ {\mathrm{Tr}}\ \tilde\rho{=}1$, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Примечания

1. ↑ Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups, // Commun. Math. Phys. — 1976. — № 48. — С. 119—130.
2. ↑ Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems // J. Math. Phys. — 1976. — № 17. — С. 821—825.
3. ↑ Ильинский Ю. А., Келдыш Л. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом.. — М.: Издательство МГУ, 1989.

Литература

• Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. Open quantum systems // Int. J. Mod. Phys. — 1994. — № 3. — С. 635—714.
• Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002.
• Alicki R., Lendi K. Quantum Dynamical Semigroups and Applications. — Berlin: Springer Verlag, 1987.
• Attal S., Joye A., Pillet C.-A. Open Quantum Systems: The Markovian Approach. — Springer, 2006.
• Ingarden R. S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. — New York: Springer Verlag, 1997.
• Lindblad G. Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Delta Reidel,. — Dordrecht, 1983. — ISBN 1-40-200320-X
• Tarasov V. E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. — Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science, 2008.
• Weiss U. Quantum Dissipative Systems. — Singapore: World Scientific, 1993.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 192 с. — ISBN 5-93972-207-5
• Квантовые случайные процессы и открытые системы / Сб. статей 1982-1984. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 223 с.
• Бройер Х.- П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. — М.: РХД, 2010. — 223 с.

См. также

• Квантовая механика
• Матрица плотности
• Уравнение фон Неймана
• Уравнение Гейзенберга
• Уравнения Эренфеста
• Квантовая вероятность
• Уравнение Лиувилля