Матрица плотности

Матрица плотности (оператор плотности, оператор матрица плотности, статистический оператор) — один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом и независимо Л. Д. Ландау и Ф. Блохом в 1927 году.

Определение

Оператор плотности — это неотрицательный самосопряженный оператор с единичным следом, действующий в гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква $\rho$. Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию $|\psi\rang,$ является ортогональный проектор

$\rho^2 = \rho ,$

что позволяет его представить в виде

$\rho = |\psi\rang \lang \psi|$.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний $|\psi_j \rang$ с вероятностью $p_j$, описывается оператором плотности вида

$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j|$

Среднее значение наблюдаемой $A$ для состояния, заданного матрицей плотности $\rho$, представляет собой след произведения операторов $A$ и $\rho$:

$\lang A\rang = \operatorname{Sp} (A\rho)$.

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Свойства

• Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения

  $\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{i \hbar} [ \mathcal{H}, \rho ]$

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

• След матрицы плотности равен единице в силу нормировки полной вероятности:

  $\operatorname{Sp}(\rho) = 1$

• След квадрата матрицы плотности равен единице для чистых состояний и всегда меньше единицы для смешанных:

  $\operatorname{Sp}(\rho^2) \leq 1$   и   $\operatorname{Sp}(\rho^2) = 1 \iff \rho = |\psi\rang \lang \psi|$

Применение

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния $|\psi\rang$ в смешанное состояние

$\rho = \sum_j | e_j \rang |\lang e_j | \psi\rang|^2 \lang e_j |$,

где $| e_j\rang$ суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Последнее является частным случаем описания незамкнутых квантовых систем, к которым относятся в том числе системы, подверженные наблюдению извне. Вообще говоря, формализм описания открытых систем, взаимодействующих с окружающей средой, с помощью матрицы плотности полезен при исследовании явления декогеренции, когда состояние системы не может рассматриваться как чистое, а само явление приводит к распаду вне-диагональных матричных элементов оператора плотности (в базисе собственных значений оператора взаимодействия) и, соответственно, к переходу системы в смешанное состояние.

Чистые и смешанные состояния

Этот раздел должен быть полностью переписан. На странице обсуждения могут быть пояснения.

В квантовой механике состояние квантовой системы может быть описано вектором состояния (или кет) $| \psi \rangle$. В этом случае говорят о чистом состоянии. Однако, это также возможно для системы в статистическом ансамбле различных векторов состояния: например, может быть 50 % вероятности того, что вектор состояния $| \psi_1 \rangle$ и 50 % вероятность того, что вектор состояния $| \psi_2 \rangle$. Эта система будет в смешанном состоянии. Матрицы плотности особенно полезны для смешанных состояний, поскольку любое состояние, чистое или смешанное, можно охарактеризовать матрицей плотности.

Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции. На самом деле, квантовая суперпозиция чистого состояния — это другое чистое состояние, например $| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2}$. С другой стороны, примером смешанного состояния $A$ будет $A = (| \psi_1 \rangle + e^{i\theta} | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2}$, где $\theta$ является вещественным числом, которое изменяется случайным образом между различными фотонами.

Литература

• Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, — М.: Мир, 1983. 248 c.
• Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. М.: МФТИ, 2004.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Местечкин М. М. Метод матрицы плотности в теории молекул. Киев: Наукова думка, 1977. — 352 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 § 14.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, — М.: Наука 1964.
• Бондарев Б. В. Метод матриц плотности в квантовой теории кооперативных явлений, — М.: Компания Спутник+ 2001.