Уравнение Паули

Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы $\psi (r,t)$ (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:

$\psi (r,t)=\begin{pmatrix} \psi_1 (r,t)\\ \psi_2 (r,t) \end{pmatrix}.$

При поворотах координатных осей $\psi_1$ и $\psi_2$ преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение $\psi$ и $\psi'$ имеет вид

$( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr,$

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом $\vec{s}$ обладает и магнитным моментом, пропорциональным $\vec{s}$: $\vec{ \mu}=g \vec{s}$ (g-гиромагнитное отношение). Для орбитального момента $g={e \over 2mc}$, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: $g={e \over mc}$. Во внешнем магнитном поле напряжённости $\vec{B}$ магнитный момент обладает потенциальной энергией $U=- \vec{ \mu}\ \vec{B}$, добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами $\phi$ и A приводит к уравнению Паули:

$~i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi$

где $\hat p$ — оператор импульса, $\hat I$ — единичный оператор, а $\hat \sigma$ пропорционален оператору спина: $\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma$.

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид $\psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)$, где $\Phi (r,t)$ — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор $\chi= \begin{pmatrix} \chi_1\\ \chi_2 \end{pmatrix}$ удовлетворяет уравнению

$~i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi.$

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина $\lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi )$ прецессирует вокруг направления магнитного поля:

$\frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang].$

Здесь $\omega_B = {eB \over mc}$ — циклотронная частота, $\vec{n}$ — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.

Литература

• Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики. 5-е изд. М.: Наука, 1976. - 664с. Параграф 62.
• А. С. Давыдов, Квантовая механика. 2-е изд. М.: Наука, 1973. - 704с. Параграф 63.
• В. Паули, Общие принципы волновой механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332с.
• Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0
• Физическая энциклопедия /Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Шрёдингера

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.