Бра и кет

У этого термина существуют и другие значения, см. Бра.

〈	∣	〉
bra		ket
бра		кет

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, вектором из проективного гильбертового пространства $\mathcal{H},$ элементы (векторы) которого обозначаются как $|\psi\rangle$ («кет-векторы»).

Каждому кет-вектору $|\psi\rangle$ ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к $\mathcal{H},$ то есть из $\mathcal{H}^*.$

Бра-вектор $\langle \psi |$ из пространства $\mathcal{H}^*$ определяется соотношением:

$\langle\psi| : \mathcal H \to \mathbb{C}: \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \right)$, для любого кет-вектора $|\rho\rangle.$

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису $\mathcal{H}^*$ или $\mathcal{H}.$

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде $\langle \phi |\psi\rangle;$ две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: $\langle \psi |\psi\rangle \ge 0.$ На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки $\langle \psi |\psi\rangle = 1.$

Линейные операторы

Если A : H → H — линейный оператор из H в H, то действие оператора A на кет-вектор $|\psi\rangle$ записывается как $A|\psi\rangle.$

Для каждого оператора A и бра-вектора $\langle\phi|$ вводится функционал $(\langle\phi|A)$ из пространства $\mathcal{H}^*,$ то есть бра-вектор, умноженный на оператор A, который определяется равенством:

$\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg),$ для любого вектора $|\psi\rangle.$

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто $\langle\phi|A|\psi\rangle.$

Это выражение называется свёрткой оператора А с бра-вектором $\langle \phi |$ и кет-вектором $|\psi\rangle.$ Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — A_kl) записывается в обозначениях Дирака как $\langle k |A|l\rangle,$ а среднее значение наблюдаемой на состоянии $\psi$ — как $\langle\psi|A|\psi\rangle.$

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

$|\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle,$

$\langle \tilde\phi | = \langle \phi |A.$

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

$H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,$ где H — гамильтониан, а E — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения $\langle \phi ,\psi\rangle$ в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору $i|\psi\rangle$ будет являться бра-вектор $-i \langle \psi |$ (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния $\psi$ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как $e_k,$ в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: $\langle k|\ ,\ |l\rangle.$ Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, $\mathcal{H}=R^n,$ то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства $\mathcal{H}$). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

$\langle \psi | = \begin{pmatrix}\overline{c}_1, \overline{c}_2, \cdots , \overline{c}_N\end{pmatrix},$

где

$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{pmatrix}$

Запись типа $\langle ... \rangle$ всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева $\langle,$ кет-вектор — скобку справа $\rangle.$ Вводится также произведение в «неестественном» порядке — $| \phi\rangle \langle \psi |$ (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор $|\psi\rangle \langle \phi|$ имеет ранг 1 и является тензорным произведением $|\psi\rangle$ и $\langle \phi|.$ Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор $|\psi\rangle \langle \psi|$ (при нормировке $\langle \psi |\psi\rangle = 1$) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в $\mathcal{H}.$

Имеет место ассоциативность:

$\langle\phi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\phi |A|\psi\rangle\ =\ \langle \phi |A \cdot| \psi\rangle,$

$|\psi\rangle\cdot\langle\phi |\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\phi|) \cdot| \tilde\psi\rangle$

и т. д.

Интересные факты

• На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины «бра» и «кет» как «ско» и «бка».

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.