Распределение парето

Распределение Парето

Плотность вероятности xm = 1
Функция распределения xm = 1
Параметры	$x_{m}>0\,$ - коэффициент сдвига $k>0\,$
Носитель	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!$
Функция распределения	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!$
Математическое ожидание	$\frac{\,kx_\mathrm{m}}{k-1}\!$, если k > 1
Медиана	$x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}$
Мода	$x_\mathrm{m}\,$
Дисперсия	$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!$ при k > 2
Коэффициент асимметрии	$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!$ при k > 3
Коэффициент эксцесса	$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!$ при k > 4
Информационная энтропия	$\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть случайная величина X такова, что её распределение задаётся равенством:

$\mathbb{P}(X > x) = \left(\frac{x}{x_m}\right)^{-k},\; \forall x \ge x_m$,

где x_m,k > 0. Тогда говорят, что X имеет распределение Парето с параметрами x_m и k. Плотность распределения Парето имеет вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..$

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n}$,

откуда в частности:

$\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1}$,

$\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}$.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

См. также

• Закон Парето
• Кривая Парето
• Парето, Вильфредо