Распределения вероятностей

Распределения вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Содержание

Определение

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R}. В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства (\Omega, \mathcal{F}) в измеримое пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), где \mathcal{B}(\mathbb{R}) обозначает борелевскую сигма-алгебру на \mathbb{R}. Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R} следующим образом:

\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Мера \mathbb{P}^X называется распределением случайной величины X.

Способы задания распределений

Определение 2. Функция F_X(x) = \mathbb{P}^X((-\infty,x]) = \mathbb{P}(X \leqslant x) называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины X. Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения FX(x) любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

  1. FX - функция неубывающая;
  2. \lim_{x\to -\infty} F_X(x) = 0,\; \lim_{x\to \infty}F_X(x) = 1;
  3. FX непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида \{(-\infty,x]\}_{x\in \mathbb{R}}, вытекает

Теорема 2. Любая функция F(x), удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения \mathbb{P}^X.

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.

Дискретные распределения

Определение 2. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть X(\omega) = a_i,\; \forall \omega \in A_i, где \{A_i\}_{i=1}^{\infty} - разбиение Ω.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: \mathbb{P}^X(B) = \sum_{i:a_i \in B} \mathbb{P}(A_i). Введя обозначение p_i = \mathbb{P}(A_i), можно задать функцию p(ai) = pi. Очевидно, что \sum_{i=1}^{\infty}p_i = 1. Используя счётную аддитивность \mathbb{P}, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение X.

Определение 3. Функция p(ai) = pi, где \sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1 часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция p задана таким образом, что p(-1) = \frac{1}{2} и p(1) = \frac{1}{2}. Эта функция задаёт распределение случайной величины X такой, что \mathbb{P}(X=\pm 1) = \frac{1}{2}.

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

  1. p_i \geqslant 0;
  2. pi = 1
    i
    .

Непрерывные распределения

Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть смесь дискретного и непрерывного.

Абсолютно непрерывные распределения

Основная статья: Плотность вероятности

Определение 4. Распределение случайной величины X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+, такая что \mathbb{P}^X(B) \equiv \mathbb{P}(X\in B) = \int\limits_B f_X(x)\, dx. Функция fX тогда называется плотностью распределения случайной величины X.

Пример 2. Пусть f(x) = 1, когда 0\leqslant x \leqslant 1, и 0 иначе. Тогда \mathbb{P}(a < X < b) = \int\limits_a^b 1\, dx = b-a, если (a,b) \subset [0,1].

Очевидно, что для любой плотности распределения fX верно равенство \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1. Верна и обратная

Теорема 4. Если функция f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} такая, что:

  1. f(x) \geqslant 0,\; \forall x \in \mathbb{R};
  2. \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1,

то существует распределение \mathbb{P}^X такое, что f(x) является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если f(x) — непрерывная плотность распределения, а F(x) — его кумулятивная функция, то

  1. F'(x) = f(x),\; \forall x \in \mathbb{R},
  2. F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, dt.
Image:Bvn-small.png Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Распределения вероятностей" в других словарях:

  • дифференциальная энтропия распределения вероятностей — Мера относительной неопределенности распределения вероятностей непрерывной случайной величины; ее выражение имеет вид где Xn = (X1, …, Хn) — непрерывная n мерная случайная величина, w(хn)=w (x1, …, xn) — плотность… …   Справочник технического переводчика

  • дифференциальная энтропия условного распределения вероятностей — Мера неопределенности условного распределения вероятностей непрерывной случайной величины при условии, что задано значение другой непрерывной случайной величины, усредненная по значениям последней; ее выражение имеет вид где w(xn, ym)=w(x1, ...,… …   Справочник технического переводчика

  • энтропия распределения вероятностей — Мера неопределенности распределения вероятностей дискретной случайной величины; ее выражение имеет вид где Xn = (X1, …, Хn) — n мерная случайная величина, Р(хn) — вероятность того, что эта величина примет значение хn = (x1,… …   Справочник технического переводчика

  • плотность распределения (вероятностей) — 3.8 плотность распределения (вероятностей) [(probability density function] f(x): Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • энтропия условного распределения вероятностей — Мера неопределенности условного распределения вероятностей дискретной случайной величины при условии, что задано значение другой дискретной случайной величины, усредненная по значениям последней; ее выражение имеет вид где P (xn, ym)=P (x1, ...,… …   Справочник технического переводчика

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем х, где х произвольное действительное число: F(x) = Р{Х ≤ х} = F(x) неубывающая функция; О ≤ F(x) ≤ 1. Ф. р. в. полностью задает случайную величину. Если X… …   Геологическая энциклопедия

  • Плотность вероятности, плотность распределения вероятностей — [distribution density] характеристика ряда распределения, показывающая, сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала. См. Распределение  вероятностей …   Экономико-математический словарь

  • Функция распределения вероятностей случайной величины — 2. Функция распределения вероятностей случайной величины Нрк. Интегральная функция распределения. Интегральный закон распределения Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • n-мерная плотность распределения вероятностей случайного процесса — 4. n мерная плотность распределения вероятностей случайного процесса Функция векторного аргумента, равная смешанной частной производной от функции распределения по совокупности n аргументов и имеющая смысл отношения вероятности попадания… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • медиана непрерывного распределения вероятностей — 3.2 медиана непрерывного распределения вероятностей (median of a continuous probability distribution), M (или х[0,5]): Значение М, удовлетворяющее соотношению F(M) = 0,5,                                                        (2) где F(х) функция …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Книги

Другие книги по запросу «Распределения вероятностей» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»