Измеримая функция


Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Содержание

Определение

Пусть (X,\mathcal{F}) и (Y,\mathcal{G}) — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция f: X\to Y называется \mathcal{F} / \mathcal{G}-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из \mathcal{G} принадлежит \mathcal{F}, то есть

\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},

где f^{-1}(B) означает полный прообраз множества B.

Замечания

  • Если \,X и \,Yтопологические пространства, и алгебры \mathcal{F} и \mathcal{G} явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
  • Смысл данного определения в том, что если на множестве \,X задана мера, то данная функция индуцирует(передает) эту меру и на множество \,Y.

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция f измерима, если
\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}.
  • Функция f измерима, если
\forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a \le b, имеем \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F},

где |a,b| обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

Примеры

  • Пусть f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), и f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in Xиндикатор множества A \not\in \mathcal{F}. Тогда функция f не является измеримой.

История

В 1901 году французский математик Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рисс, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
  • Xалмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Измеримая функция" в других словарях:

  • ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ — 1) В первоначальном понимании И. ф. функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е а точек х, для к рых f(x)<a есть измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [ х 1, х 2]может быть сделана …   Математическая энциклопедия

  • Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента …   Большая советская энциклопедия

  • Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение)         (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… …   Большая советская энциклопедия

  • Суммируемая функция —         функция, к которой приложимо введённое А. Лебегом понятие Интеграла, то есть для которой интеграл Лебега, взятый по данному множеству, конечен. Функции эти, называемые также интегрируемыми по Лебегу, необходимо должны быть измеримыми (по… …   Большая советская энциклопедия

  • Статистика (функция выборки) — У этого термина существуют и другие значения, см. Статистика (значения). Статистика (в узком смысле)  это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В широком смысле термин (математическая)… …   Википедия

  • БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ — В функция, функция, для к рой все подмножества вида ) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф.: функции, измеримые по Борелю, В измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в …   Математическая энциклопедия

  • Простая функция — в математике это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений. Определение Пусть измеримое пространство. Пусть , где конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция …   Википедия

  • КРИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — статистика, значения к рой суть условные вероятности отклонения проверяемой гипотезы при заданном значении результата наблюдения. Пусть X случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве распределение вероятностей к рой… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ — действительного переменного функция , определенная на нек ром интервале, для любых двух точек х 1 и x2 к рого выполняется условие Геометрически это означает, что середина любой хорды графика функции f лежит либо над графиком, либо на нем. Если… …   Математическая энциклопедия

  • ЭКСЦЕССИВНАЯ ФУНКЦИЯ — для марковского процесса аналог неотрицательной супергармонической функции. Пусть в измеримом пространстве задана однородная марковская цепь с вероятностями перехода за один шаг Измеримая относительно функция наз. эксцессивной функцией для этой… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.